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周靖国的博客

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求连续三角形数之和的公式  

2010-11-08 08:37:08|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面在“求连续自然数平方和的公式”一文中,介绍了波利亚以“猜想”为先导,推出这个公式的过程。思路新颖独特,发人深思。下面就让我们从模仿开始,做一次入门练习。

在“有趣的图形数”中,曾经提到过三角形数:

       求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客
        在我国元代数学家朱世杰的著作《四元玉鉴》中,就有求这个数列前n项和的公式:
                                 求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

下面就比葫芦画瓢,完全模仿波利亚的方法,推导一下这个公式。

首先,算出从1开始的一些连续自然数的和与三角形数的和,列出下表:

                        求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

然后,以三角形数的和为分子,连续自然数的和为分母,构成分数

                                             求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

再根据表中的数据,算出分数An的值,列出下表:

                                      求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客
       求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客 
        由此得到
                     求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

         求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

用数学归纳法很容易证明等式的正确性,这样就轻而易举地推出了求连续三角形数之和的公式。

模仿非常成功,下次有机会就可以大显身手了。

 

相关链接:再谈求连续三角形数之和的公式

     求连续自然数平方和的公式

     求连续自然数立方和的公式     

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