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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

欧拉的一个猜想  

2010-12-27 11:19:30|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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我们知道,欧拉是一位伟大的数学家,他的光辉的一生,为数学的发展做出了不可磨灭的贡献。尤其像“哥尼斯堡七桥问题”和“多面体欧拉公式”,更是为人们所津津乐道。不过很少有人知道,欧拉还曾经有过一个猜想:任何正整数,都可以表示为不超过4个完全平方数之和。

比如,75725212123925241121000302102

欧拉提出这个猜想的出发点是:完全平方数既然是正整数,那么反过来,所有的正整数是不是都能用完全平方数表示出来呢?

于是,他从12345、……逐一进行实验,结果发现:

1个完全平方数,当然做不到。像2,就不能用1个完全平方数表示;

放宽到2个完全平方数的和,仍然做不到。像3,就不能表示为2个完全平方数的和;

放宽到3个完全平方数的和,仍然做不到。像7,就不能表示为3个完全平方数的和;

放宽到4个完全平方数的和,结果,一路顺畅,没有发现不能表示为4个或4个以下完全平方数之和的。

于是,他大胆地做出了上面的猜想。后来,这个猜想被法国数学家拉格朗日证明了,成为数论中的一个定理。

这里,任意给出几个不太大的正整数,你能把它们分别用不超过4个完全平方数的和表示出来吗?

18293247516374859910124331748250667973581492713249876

你自己不妨再随便写出几个不太大的正整数试试看,应该没有问题。

欧拉的这个猜想本身,对我们来说也许没有什么实用价值,可是,透过这件事情,给了我们下面这些启示,却是非常可贵的:

1、使我们对数学有了新的认识:数学在一定意义上也是一门实验科学,她的某些内在规律要靠实验去发现。

2、使我们体会到:猜想往往是通向真知的起点。

3使我们明确了小学数学教师的一项神圣职责:要认真培养学生的观察能力、联想(猜想)能力与合情推理能力。这种能力的形成,从发展的眼光看,比记住现成知识、运用现成知识更重要。

4、使我们受到鼓舞:数学是一个大宝藏,蕴藏着无穷无尽的奥秘,等待人们去发掘。人人(包括今天的小学生)只要投身其中大胆探索,并且持之以恒锲而不舍,都有可能成为宝藏的发现者,都有可能为数学的发展,为文明的进步,做出自己的贡献。

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