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周靖国的博客

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再谈求连续三角形数之和的公式  

2010-12-05 10:25:00|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面,在“求连续三角形数之和的公式”一文中,用猜想的方法得到求连续三角形数之和的公式:

再谈求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

  在推导的过程中,构造出分数An起了至关重要的作用。因为,如果没有An,就没有什么所谓An的通项公式,后面的猜想也就无从猜起,而An的构造是需要经验和技巧的。这种经验和技巧从何处来?来自对数学持之以恒的深爱、探索和追求。

经验和技巧在“转化”这种常用的数学思考中,有着尤为重要的作用。下面就用转化的思想方法,再次推导一下“求连续三角形数之和的公式”,以加深对它的认识和体验。

再谈求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

 

(5)再取1个这样的数列(1),用它的第一项、第二项、第三项……倒数第二项,从左到右把上面n1个残缺不全的三角形,补成与倒数第一项相同的三角形,一共得到n个这样的三角形。

(6)这样一来,前后总共取了3个由三角形数组成的数列,总共得到n2个与倒数第一项相同的三角形数。因为,每个倒数第一项三角形数等于n(n1)÷2,所以,每个由三角形数组成的数列的和,即从1开始连续n个三角形数之和,就等于[n(n1)÷2]×(n2)÷3n(n1)(n2)÷2÷3

再谈求连续三角形数之和的公式 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

所得到的公式与猜想法殊途同归。

 

从“求连续自然数立方和的公式”到“求连续自然数平方和的公式”、“求连续三角形数之和的公式”、“再谈求连续三角形数之和的公式”,前后4篇文章组成一个序列。从数学思考的角度来看,目的只有一个,就是想以此为例,表达出自己对思维灵活性的向往和一些感受。

思维灵活性是思维的重要品质之一,关乎学生终身的可持续发展。思维灵活性虽然有先天的成分,但是,主要还是来自后天的培养和锻炼。小学数学教师在培养学生的思维能力方面具有不可推卸的职责,这是需要我们认真思考和对待的。

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