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周靖国的博客

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有趣的图形数  

2010-04-29 17:44:11|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 古希腊有位数学家叫毕达哥拉斯。他和他的学派在数学上做出了巨大的贡献。毕达哥拉斯认为“数是万物之源”。1表示点,2表示线,3表示面,4表示体。

                          有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

 世间万物无一不是由点、线、面、体所组成,而 1234=10,因此,10就可以表示宇宙。

毕达哥拉斯把自然数看成是点的化身,尤其看重能够排成三角形、正方形、长方形的数。下面我们就用这三种数推出一些非常重要的常用公式。

公式一:两个三角形数可以组成一个长方形数:

                                                                       有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

 所以 (1+2+3+4+5)×2=5×6,即            

                                                                     有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

 推而广之,如果三角形数有n层,长方形数就有n层,每层有n+1个点,于是得到求连续自然数的和的公式

               有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

 公式二:正方形数可以这样划分:

                   有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

所以1357952。推而广之,如果正方形数有n层,第n层就有2n-1个点,于是得到求连续奇数和的公式

              135+…+(2n1)n2

公式三:长方形数可以这样划分:

                有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

 所以 2+4+6+8+10=5×(5+1)。推而广之,如果长方形数有n层,第n层就有2n个点,于是得到求连续偶数和的公式

              2+4+6+…+2n=n(n+1)

公式四:正方形数还可以这样划分:

                  有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

 先按横行从1加到5,再按竖列从4加到1,即12345432152推而广之,如果正方形数有n层,于是得到求从1到n再到1的连续自然数之和的公式

         123+…+n(n1)(n2)+…+21n2 

图形数把抽象的数与直观的图形巧妙地联在一起,这种数形结合的方法是一种重要的常用的数学思想方法。下面我们进一步用这种方法再推出两个比较复杂一点的重要公式。

公式五:把这5个连续正方形数1222324252稍加变形,排成左下方的“摩天大楼形”:

      有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客           有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

       在它的两侧各加上同样的5个连续正方形数,得到一个像右上方那样的长方形数。摩天大楼形数等于

     1222324252

长方形数是它的3倍。从下往上看,这个长方数有

                                                                 有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

 层。从最上层看,每层有2×5+1个点。所以长方形数等于

            有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

于是

            有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

推而广之,就得到求连续平方数的和的公式

             有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客 

真是妙不可言!

公式六:下面的大正方形是由一些边长分别是1、2、3、4、5的小正方形拼成的。

                                                                   有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

观察发现,虽然有两处重叠,不过这两个重叠部分与各自右下方的空白部分大小相等,正好可以用重叠的那一层补上空白部分。因此可以说,这个大正方形是由1个边长为1的正方形、2个边长为2的正方形、3个边长为3的正方形、4个边长为4的正方形和5个边长为5的正方形拼成的。所以它的面积等于

         1×122×223×324×425×521323334353

而大正方形的边长等于             

                 有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

面积等于边长的平方。于是

                有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客          

推而广之,就得到求连续立方数的和的公式

              有趣的图形数 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

真是不可思议! 

上面我们用数形结合与合情推理的方法,妙趣横生地得到了六个非常重要而常用的公式,使我们不能不又一次为数学内在奥秘所陶醉,为她那无与伦比的美所倾倒。这,就是数学的魅力!

 

 

 

 

 

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