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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

图中有多少个“○”  

2010-05-28 11:51:23|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面我在一篇博文中谈到过图形数。图形数是数形结合的最好范例,它的优点是既形象直观又内涵丰富。比如下面这道题:

图中有多少个“○”?

                 图中有多少个○ - zhoushijingguo - 周靖国的博客

      要解决问题就要有解决问题的策略。解决问题是数学学习的一项重要内容,而解决问题的策略既多样又灵活,更是数学思想方法的重要体现,并且,对解题策略的推广和抽象概括,往往可以发现隐藏在问题中的某种规律,就更加具有数学思考价值。以这道题为例:(请参看拙文“图形数”)

策略一:自上而下,逐行相加。

      (1357911)(97531)6252362561

抽象概括:问题的实质是求 n 个连续奇数与 n1 个连续奇数的和。总和是 n2+(n1)2

策略二:看成两个正方形数的和。

                 图中有多少个○ - zhoushijingguo - 周靖国的博客

                                           6252362561。                

        抽象概括:问题的实质是求两个连续数 n n1 的平方和。总和是 n2+(n1)2

策略三:看成 4 个三角形数的和加 1。

                 图中有多少个○ - zhoushijingguo - 周靖国的博客

                             (5×6÷2)×4161。 

    抽象概括:问题的实质是求 4 个从 1 n 的连续自然数的和再加 1。总和是 [n(n1)÷2]×41。这里的 n 显然比前两种方法中的 n 1。如果把总和中的 n 换成 n-1,总和就是 [(n1)n÷2]×41=(n1)n×212n22n1n2+(n22n1)n2+(n1)2,与前两种方法所得到的结果相同。

策略四:给四个角各补上一个三角形数。

                   图中有多少个○ - zhoushijingguo - 周靖国的博客

                                                           112-(5×6÷2)×461。

        抽象概括:问题的实质是求一个平方数 n2 4 个从 1 到 (n1)÷2 的连续数之和的差,所以,总和是 n24×[(n1)÷2]×[(n1)÷21]÷2。这里的 n 显然比方法一和方法二中 n 2 倍小 1。如果把总和中的 n 换成 2n-1,总和就是 (2n1)24×[(2n2)÷2]×[(2n2)÷21]÷2=(2n1)2-(2n2)×n4n24n12n22n2n22n1n2+(n22n1)n2+(n1)2,仍然与方法一和方法二所得到的结果相同。

通过以上四种策略的比较,不仅加深了我们对数形结合的认识,也使我们再一次感受到数学外在的形式美与内在的规律美的统一,无怪乎毕达哥拉斯会给予图形数那么高的赞誉。美哉,图形数!

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