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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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河内塔问题  

2010-05-31 14:39:45|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在小学数学四年级上册(人教版)第120页有一道思考题“河内塔问题”。

  

           河内塔问题 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

  教参对这道题的解法做了一些简要的说明。网上也能查到一些相关的文章,不过大都比较专业不大好懂。其实,这道题源于印度的一个古老传说。我最早是从美国著名科普作家乔治·盖莫夫的名著《从一到无穷大——科学中的事实和臆测》中读到的,不仅内容引人入胜,文笔也清新流畅。在此,推荐给有兴趣的网友。

“在世界中心贝拿勒斯的圣庙里,安放着一个黄铜板,板上插着三根宝石针。每根针像韭菜叶那样粗细。梵天(印度教的主神勃拉玛)在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上放下了由大到小64个金片。这就是所谓梵塔。不论白天黑夜,都有一个值班的僧侣按照梵天不渝的法则,把这些金片在三根针上移来移去:一次只能移一片,并且要求不管在哪根针上,小片永远在大片的上面。当所有的64片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。”

课本安排了经过简化的这样一道题目,是想让学有余力的学生,初步感知一下化归这种数学思想方法,用意很好。不过我觉得,倒不如先以阅读的形式或者听老师讲故事的形式,让学生对问题的全貌有所了解,借以引起学生的兴趣,再让学生从移动1个金片开始,去探究其中的规律。

(1)如果①号针上只有1个金片。把金片移到③号针上只需要移1次;

(2)如果①号针上有2个金片。先把小金片移到②号针上,再把大金片移到③号针上,再把小金片移到③号针上,总共需要移3次;

(3)如果①号针上有3个金片。像(2)那样(针号稍有改变),先把上面的2个金片移到②号针上,需要移3次。再把最后1个大金片移到③号针上需要移1次。再把②号针上的2个金片移到③号针上又需要移3次。总共需要移3137次;

(4)如果①号针上有4个金片。先把上面的3个金片移到②号针上,需要移7次。再把最后1个大金片移到③号针上需要移1次。再把②号针上的3个金片移到③号针上又需要移7次,总共需要移71715次。

这时,可以引导学生观察由移动次数组成的数列:13715,结合上面的实践,猜想和探究其中隐藏的规律。因为学生在三年级下期课本第18页的思考题中,已经对数列:481632,(  )和25112347,(  )有过先找规律后填数的经验。相信经过老师的启发和引导,学生完全能够发现数列13715的规律是:后一项总是比前一项的2倍多1。这时,老师要不失时机地鼓励学生按照自己发现的规律,接着把金片的数目增加下去。随着金片移动次数的急剧增大,学生的情绪一定会越来越高涨。到了适当时机,老师可以告诉学生:按照梵天的法则移动64片金片,需要移动 18446744073709511615次。然后,再向学生提出一个新问题:假如僧侣们每秒钟移动一次金片,夜以继日废寝忘食地照这样干下去,需要干多少年?可以要求学生只列出算式。因为一年有60×60×24×365秒,所以需要18446744073709511615÷(60×60×24×365)年。最后,老师宣布答案:大约需要5846亿年!相信学生一定会在一片惊呼中,极大地提高对数学的认识和兴趣。然后顺便指出:根据科学家的研究,太阳的寿命最多还有100150亿年,5846亿年远远大于这个数,可见印度传说仅仅是一个传说而已。

另外,建议不妨把这道题提前到第1单元“大数的认识”末尾,这样做有两个好处:一是可以增加学生对大数的认识;二是可以使学生知道,像有关这样大的数的计算,一般计算器也无能为力,还要使用更为精密的计算工具,从而加深学生对科学技术的认识和向往,这无疑对学生的可持续发展是有好处的。

最后,还想给人教社提个建议:即使仍然保持现在这个样子,不提贝拿勒斯圣庙的事,最好也不要用“河内塔问题”这个题目。一是因为“问题”这种名称太严肃了,不如换成“游戏”(本来把几个珠子移来移去的,对孩子来说就是游戏嘛);二是因为这个题目容易引起误解:“河内塔”是不是越南首都河内的一座塔呀?(开玩笑)不妨换成“汉诺塔游戏”,其实“河内”就是“汉诺”的另一种音译。“汉诺塔游戏”倒是在电脑程序设计中有它的一席之地。不知编辑同志意下如何?

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