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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

圆周率的故事  

2010-06-10 12:24:38|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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圆,是人类最早认识的一种曲线,也是用途最广的一种曲线。还在遥远的古代,火红的太阳、皎洁的月亮、清晨的露珠,以及动物的眼睛,水面的波纹,都给人以圆的启示。现代,从滚动的车轮到日常用品,从旋转的机器到航天飞船,到处都有圆的身影。人们的生活与圆早已结下了不解之缘。圆,以它无比美丽的身影带给人们无限美好的遐想。圆满、团圆,这些美妙的词语寄托了人们多少美好和幸福的憧憬!

圆周率是圆的灵魂,是圆的化身,可是这位仙子,却迟迟不肯揭开她那神秘的面纱。

  人们对圆周率的认识经历了漫长的历史岁月,许多数学家为此献出了毕生的精力。现在,就让我们穿过时间隧道,与这些伟大的数学家作一次亲密接触吧!

早在三千多年以前的周朝,我们的祖先就从实践中认识到圆的周长大约是直径的3倍,所以在距今2000多年前的西汉初年,在我国最古老的数学著作《周髀算经》里就有了“周三径一”的记载。

随着生产的发展和文明的进步,对圆周率精确度的要求越来越高。西汉末年,数学家刘歆提出把圆周率定为3.1547。到了东汉,张衡,就是那位发明候风地动仪的天文学家,建议把圆周率定为3.1622。但是,这两个建议都因为缺乏科学依据而很少有人采用。一直到了公元263年,三国时期魏国的刘徽创立了割圆术,才使圆周率的计算走上了科学的道路。

什么是割圆术呢?原来,刘徽在整理我国古老的数学著作《九章算术》时发现,所谓的“周三径一”,实质上是把圆的内接正6边形的周长作为圆周长的结果。于是他想到:如果用圆的内接正12边形、24边形、48边形、96边形……的周长作为圆的周长,岂不是更加精确。这就是割圆术。用他自己的话说就是:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”但是,因为计算过程随着边数的增加越来越复杂,限于当时的条件,刘徽只计算到圆的内接正96边形,使圆周率精确到两位小数,得到3.14。后来,刘徽又算到圆的内接正3072边形,使圆周率精确到四位小数,得到3.1416。还记得我上小学的时候,圆周率用的就是这个值。

又过了大约200年,到了南北朝的时候,我国出了一位大数学家,也是天文历算学家祖冲之。祖冲之于公元429420日出生在范阳郡遒县(现在的河北省涞水县)。他小时候没上过什么学,也没得到过什么名师指点,但是他自学非常刻苦,尤其是对天文、数学有着浓厚的兴趣。他广泛搜集认真阅读了前人有关天文、数学的许多著作,却从来不盲目接受,总要亲自进行测量和推算。公元460年,他采用刘徽的割圆术,一直算到圆的内接正12288边形,推算出圆周率应该在3.14159263.1415927之间。同时,他还提出用两个分数作为圆周率的近似值,一个是22/7,叫“疏率” ,约等于3.142857;另一个是355/113,叫“密率”,约等于3.1415929。祖冲之对圆周率的计算,开创了一项世界纪录,比欧洲早了一千多年。国际上为了纪念这位伟大的中国数学家,把3.1415926称为“祖率”,并把月球上的一座环形山命名为“祖冲之山”。这是我们中华民族的骄傲。

  向往完美,向往精确是人类的天性。尽量把圆周率算得准确一点,一直成为人们的不懈追求。

在古希腊,那里的人们也是把圆周率取为3。后来也发现了疏率22/7,直到1573年,德国数学家奥托才发现了密率355/113,比祖冲之晚了1113年。

在古埃及的纸草书(以草为纸写的书)中,有一道计算圆形土地面积的题目,所用的方法是:圆的面积等于直径减去直径的1/9,然后再平方。如果我们假设半径为1,直径就是2,圆的面积就是2÷9×8再平方,约等于3.16,也就是说圆周率约等于3.16。(因为S=πr2,当r1时,S=π。)

1593年,荷兰数学家罗梅,用割圆术把圆周率算到了小数点后15位,虽然打破了祖冲之的纪录,但是已时隔1133年。

1610年,德国数学家卢道夫,用割圆术使π值精确到小数点后35位,几乎耗费了他一生的大部分心血。

  随着数学的发展,人们又陆续发明了另外一些计算圆周率的方法。

1737年,经过瑞士大数学家欧拉的倡导,人们开始广泛地使用希腊字母π表示圆周率。

1761年,德国数学家兰伯特证明了π是一个无限不循环小数。

1873年,英国的向克斯用了20年的精力,把π值计算到小数点后707位。可惜后来有人用电脑证明,向克斯的计算结果,在小数点后第528位上发生了错误,以致后面的179位毫无意义。一个数字之差使向克斯白白耗费了十多年的精力!他的失误警示人们,科学上容不得半点疏忽。这个教训值得我们永远记取。

随着电脑的不断升级换代,π值的计算不断向前推进,早在上个世纪80年代末,日本人金田正康把π值算到了小数点后133554000位。当代,π值的计算已经成为评价电子计算机性能的指标之一。

最后,还有两件与圆周率有关的趣事不能不谈。

第一件:1777年,法国数学家布丰用他设计的,看似与圆周率毫无关系的“投针试验”,求出圆周率的近似值是3.121901年意大利数学家拉兹瑞尼用“布丰投针试验”求出圆周率的近似值是3.1415929。至于什么是“布丰投针试验”,请看拙文“布丰投针试验的故事”。

第二件:用普通的电子计算器就能算出圆周率的高精度近似值。算式是:

  1.09999901×1.19999911×1.39999931×1.699999613.141592573

这几个小数很好记,如果不看小数点的话,四个因数都是对称的,中间是59,前面两位分别是10111316,后面两位分别是01、11、31、61。至于是什么道理,不清楚。据我猜测,很可能是某位有心人,殚精竭虑编出的一道趣味数学题。

无独有偶,下面这些由十个不同数字组成的算式,也可以算出圆周率的高度近似值。

        76591÷24380     95761÷30482    39480÷12567

        97468÷31025      37869÷12054      95147÷30286

        49270÷15683    83159÷26470    78960÷25134

显然,这些题目中的数字是凑出来的,渗透了创编者的良苦用心。

在分享了上面这些算式带给我们的惊喜和启迪之余,不禁要对这两位数学爱好者表示崇高的敬意!

几千年来,圆周率精确值不断推进的过程,反映了人类崇高的科学精神,闪烁着人类智慧的光芒,同时也让热爱数学、甘愿为数学献身的人们充分感受到数学的无比美妙,享受到数学给予他们的无限乐趣。

在相当长的一段历史时期内,人们往往用圆周率的精确程度,作为衡量一个国家、一个民族数学发展水平的标志。我国古代数学一直处于世界领先的地位。作为炎黄子孙,我们一定要继承祖先的光荣传统。而作为小学数学教师,一定要教育我们的学生,学无止境,科学的发展也没有止境,一座座科学高峰正等待着他们去攀登。刘徽、祖冲之、卢道夫……这些光辉的名字永远是鼓舞全人类前进的榜样。

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