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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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菲波纳契数列  

2010-06-01 12:49:06|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学课本(人教版)六年级下册第73页的“阅读资料”,提到了菲波纳契的“兔子问题”。

菲波纳契是欧洲中世纪的数学家,生于意大利的比萨。1202年,菲波纳契在他的著作《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题。

“假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔。再过一个月后便能生下一对小兔,并且此后每个月都生一对小兔,而且小兔子的生育能力也同他们的父母一样。如果一年内没有发生死亡,那么,由一对刚出生的兔子开始,12个月后会有多少对兔子呢?”

因为小兔子从出生到能够生育需要两个月的时间,所以从第3个月开始才会有小兔子出生。此后,每个月的兔子由两部分组成,一部分是上个月就有的兔子,另一部分是新出生的兔子。前者的对数无疑就是上个月的兔子对数,后者的对数应该等于两个月前兔子的对数,这是因为那时的老兔子这个月仍然继续生育,而那时的小兔子这个月已经开始生育了。于是得到逐月的兔子对数:

1123581321345589144,…

所以,12个月后会有144对兔子。

这就是菲波纳契数列,它的规律是:从第3项开始,每一项都等于它的前面两项的和。

菲波那契数列反映的规律有一定的普遍性。请看下面这些问题:

一棵树,一年后长出一条新枝。新枝隔一年后成为老枝,老枝每年又长出一条新枝。如此下去,5年后这棵树的树枝将会有多少条?

一个楼梯共有8个台阶。如果每一步可以上一个台阶或两个台阶,那么,这个楼梯共有多少种不同的上法?

爷爷给小明买了一包巧克力,共有10块。小明如果每天吃1块或2块,一共有多少种不同的吃法?

不仅如此,菲波那契数列经常还会在一些意想不到的情况下出现。请看下面这个有趣的例子。

在蜜蜂王国,蜂王是惟一能产卵的雌蜂。雌蜂是受精卵孵成的,雄蜂是未受精卵孵成的,所以雌蜂有父亲和母亲而雄蜂只有母亲没有父亲。如果从一只雄蜂上溯到第七代,那么,各代蜜蜂的只数是多少?

如果用●表示雄蜂、○表示雌蜂,可以画出下图:

          菲波纳契数列 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

   又是菲波那契数列。

更加令人感到意外的是,上面那行竟然跟钢琴键盘的排列一模一样!

               菲波纳契数列 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

   可见,菲波那契数列的确是一件数学珍宝。

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