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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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布丰投针实验的故事  

2010-06-10 18:16:36|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在张远南先生的著作《偶然中的必然》里,有关于“布丰投针实验”的故事。为了增加阅读的趣味性,我稍微做了一点改动。

1777年的一天,法国科学家布丰的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

    试验开始,但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针。然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交,以及相交的次数告诉我。

    客人们不知布丰先生要玩什么把戏,只好客随主意,一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了,把它捡起来再扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后,布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针2212次,其中与平行线相交的有704次。总次数2212与相交次数704的比值为3.142。”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!”

    客人们一片哗然,议论纷纷,大家全都感到莫名其妙:“圆周率π?这可跟投针半点也不沾边呀!”

布丰先生似乎猜透了大家的心思,得意洋洋地解释道:“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,还能得到π的更精确的近似值呢。”

那么,“布丰投针实验”的依据究竟是什么呢?下面就是书中简单而巧妙的证明。为了便于理解,我把证明过程说得稍微详细一点。

假设那组平行线的间距等于d如果把一个直径为d的铁丝圆圈,扔到平行线组上,因为它的周长等于πd,所以,不论怎样扔,每个圆圈都会与平行线有两个交点。因此,如果扔下的次数为n,交点的总数为m,必定有m2n

还用那组平行线,不过这回把圆圈剪开,变成长度为πd的直铁丝。显然,直铁丝与平行线相交的情形要比圆圈复杂,最多可能有4个交点,也可能有3个、2个、1个交点,也可能不相交,没有交点。不过,由于圆圈和直铁丝的长度相同,根据概率学的“机会均等原理”,当圆圈和直铁丝投掷的次数较多并且相等时,它们与平行线组的交点总数可望也是一样的。这就是说,如果直铁丝扔下的次数为n,与平行线组的交点总数m也应该大致为2n

    现在讨论铁丝长度为b的一般情况。这种铁丝与平行线组的交点总数m,应当与长度b成正比,因而有mkb,式中k是比例系数。为了求出k,回到前面直铁丝的特殊情形,此时b=πdm2n。由于m=kb,所以kb2n,而b=πd,也就是kπd2n

    布丰投针实验的故事 - zhoushijingguo - 周靖国的博客   

     这里改用约等号,是因为“机会均等原理”毕竟只是一种或然推断而已。在上面的故事中,布丰有意让针长b恰好等于平行线间距离d的一半,即d2b

    布丰投针实验的故事 - zhoushijingguo - 周靖国的博客
  才使他很快就能算出结果。客人们万万想不到,π竟然会出现在这种与圆毫不相干的场合,然而,投针实验能够得到圆周率的近似值,却是千真万确的事实。这,正是数学的奥妙之处。
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