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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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十全数中的珍品  

2010-06-25 07:17:44|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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由昨天的“诺伯特·维纳的年龄之谜”,想到了“十全数”。所谓“十全数”,就是指由0123456789十个数字,不重不漏组成的十位数。

“十全数”,最高位上的数字当然不能是0,对于后面的数位就没有这样的限制了。所以,根据乘法原理,“十全数”共有9×9×8×7×6×5×4×3×2×13265920个。这是一个既特殊又庞大的群体。为了找出其中的珍品,我们不妨提出一些苛刻的条件。比如,从整除的角度进行筛选。

“十全数”中,恰好能被123456789整除的,如1428973560之类,自然就比较少了。如果进一步把除数的范围扩大到101112131415161718。因为11818个自然数的最小公倍数是12252240,用电脑或计算器不难找到,能被这18个自然数整除的“十全数”只有4个,它们是:

2438195760378594216047538691204876391520

而这4个数都不能被19整除,所以,“十全数”被从1开始的连续自然数整除,最大只能到18,这就更加提高了这4个数身价。

另外,还有两个“十全数”尤其可贵,它们是:

57321609846098457321

如果把这两个“十全数”拦腰截断,得到两个五位数:5732160984。出乎人们意料之外的是,这两个五位数的平方,竟然也都是“十全数”!

57321232896970416098423719048256

上面这6个“十全数”在3265920个“十全数”中寥若晨星,堪称“数的珍宝”。记住它们,用它们做个饰品或者密码什么的,一般人是绝对想不到的。跟这些珍宝亲密接触,朝夕相处,不正是我们这些数学爱好者引以为荣,值得骄傲的吗?

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