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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

一道雷人的题目  

2010-07-26 07:01:45|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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请看下面这道题:

“有5个圆,半径分别是7厘米、5厘米、4厘米、2厘米、2厘米。如果把4个较小的圆与最大的圆部分重叠在一起(如图)

                 一道雷人的题目 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

怎样才能使大圆内的黑色部分与大圆外的斜线部分面积相等?”

初看起来,这个问题实在让人有点儿晕,不知道应该从何处想起。实际上,只要把5个圆的面积分别计算出来,情况就清楚了。

大圆的面积是72π=49π厘米24个小圆的面积分别是52π=25π厘米242π=16π厘米222π=4π厘米222π=4π厘米2。仔细观察后发现,4个小圆面积的和是(251644)π=49π厘米2,恰好与大圆的面积相等。于是恍然大悟,因为,无论4个小圆与大圆怎样部分重叠,每个小圆减少的面积与大圆减少的面积都相等(图中的白色部分),所以,大圆内黑色部分的面积与大圆外斜线部分面积的和也总是相等。原来如此!既然是这样,怎样部分重叠都行。

看来,这道题是有点儿蒙人。不过,对于培养思维的灵活性和不被陌生的事物吓倒,从问题的最基本处入手进行探索的思想方法,还是有一定价值的。

与此类似,再请看下面这道题:

“有甲、乙两个杯子。甲杯中有10毫升水,乙杯中有20毫升酒。从甲杯里用滴管取出1毫升水,放入乙杯中,充分搅拌后,再取出1毫升混合液放回甲杯中。这时,甲杯中的酒多,还是乙杯中的水多?”

是不是也很雷人?其实,甲杯得到的酒是用它同样容积的水从乙杯中换来的,当然甲杯中的酒和乙杯中的水同样多。

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