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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

两道世界名题  

2010-08-05 10:16:17|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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由前文“两道遗嘱执行难题”,又想到了同样是分东西的两道世界名题。

第一道题,是日本著名数学游戏专家中村义作教授提出的:

“一家农户以果园为生。有一次,他们种植的橘子获得了空前大丰收,于是,父亲便拿出一大堆橘子,共2520个,奖励他的6个儿子。他先按事先算好的数目进行分配,分完以后,他让老大把分到的拿出1/8给老二;让老二把老大给他的和原来分到的,拿出1/7给老三;让老三把老二给他的和原来分到的,拿出1/6给老四;让老四把老三给他的和原来分到的,拿出1/5给老五;让老五把老四给他的和原来分到的,拿出1/4给老六;让老六把老五给他的和原来分到的,拿出1/3给老大。结果,大家分到的正好一样多。六个儿子高兴得跳了起来,拍手欢呼:老爸分得真公平啊!”

请问,六兄弟每人原来分到的橘子各是多少个?”

这道题的解法很多,最容易理解的是用倒推的方法,就是从最后的结果倒推回去。

这堆橘子共有2520个,最后6兄弟分到的同样多,说明每人分到2520÷6420个。老六的420个是给了老大1/3以后剩下的,此前他有420÷2/3630个,他给了老大630÷3210个。

老大未得到老六给他的210个以前,有420210210个,这是他给了老二1/8以后剩下的,所以他原来分到的是210÷7/8240个。他给了老二240÷830个。

老二原有的加上老大给他的30个,拿出1/7给了老三,说明此前一共是420÷6/7490个,所以他原来分到的是49030460个,他给了老三490÷770个。

老三原有的加上老二给他的70个,拿出1/6给了老四,说明此前一共是420÷5/6504个,所以他原来分到的是50470434个,他给了老三504÷684个。

老四原有的加上老三给他的84个,拿出1/5给了老五,说明此前一共是420÷4/5525个,所以他原来分到的是52584441个,他给了老五525÷5105个。

老五原有的加上老四给他的105个,拿出1/4给了老六,说明此前一共是420÷3/4560个,所以他原来分到的是560105455个,他给了老五560÷4140个。

老六原有的加上老五给他的140个,拿出1/3给了老大,说明此前一共是420÷2/3630个,所以他原来分到的是630140490个,他给了老大630÷3210个。

所以,原来老大分到240个、老二分到460个、老三分到434个、老四分到441个、老五分到455个、老六分到490个。

第二道题,是剑桥大学的数学家怀德海教授提出的:

5个水手带了1只猴子到了一个荒岛,那里有一大堆椰子。水手们到荒岛时已经很疲倦了,他们约定好第二天早上再分椰子,然后就都睡了。

半夜里,第一个水手醒了,看看别人还都睡着,就把椰子平均分成5堆,自己藏起1堆,还剩下1个,把它丢给猴子,又睡了。不久,第二个水手醒了,看看别人还都睡着,就把椰子平均分成5堆,自己藏起1堆,还剩下1个,把它丢给猴子,又睡了。不久,第三个水手醒了,看看别人还都睡着,也是这样,分5堆藏1堆给猴子1个。第四个、第五个水手也都是这样。

天亮了,他们个个若无其事佯装不知,按照约定,把椰子平均分成5堆,每人拿了1堆,还剩下1个,把它丢给猴子。

试问:原来那堆椰子有多少个?

这道题的解法也很多,最简单的是用猜想验证的方法,就是先提出猜想,再进行验证。

仔细读题后发现,这堆椰子前后用5除了6次,每次都是剩下1个。于是猜想,这堆椰子会不会比561个,是56115626个?或者比564个,是56415621个?然后进行验证。

如果是15626个:

1个水手把椰子平均分成5堆,每堆(156261)÷53125个,藏起1堆,给猴子1个;

2个水手把椰子平均分成5堆,每堆3125×4÷52500个,藏起1堆,没有剩余,不合题意。

如果是15621个:

1个水手把椰子平均分成5堆,每堆(156211)÷53124个,藏起1堆,给猴子1个;

2个水手把椰子平均分成5堆,每堆(3124×41)÷52499个,藏起1堆,给猴子1个;

3个水手把椰子平均分成5堆,每堆(2499×41)÷51999个,藏起1堆,给猴子1个;

4个水手把椰子平均分成5堆,每堆(1999×41)÷51599个,藏起1堆,给猴子1个;

5个水手把椰子平均分成5堆,每堆(1599×41)÷51279个,藏起1堆,给猴子1个;

最后,把椰子平均分成5堆,每堆(1279×41)÷51023个,每人1堆,给猴子1个;

符合题意。

所以,原来那堆椰子有15621个。

这两道世界名题,特别是第二道题,曾经被不少名人引用过。像大物理学家,量子论的奠基人狄拉克就跟别人讲过这道题目。后来,著名华裔物理学家李政道博士,1979年访问中国科技大学,和科大少年班学生见面座谈的时候,也提到过这个题目。

猜想验证,是进行学习和研究的重要方法之一。在此,重温一下“义务教育小学数学新课程标准”中下面这段话,可能会有一些新的体会和感悟:

“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式,以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同,学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”

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