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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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循环小数与循环节  

2010-09-22 08:15:15|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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人教版小学数学五年级上册第28页“你知道吗?”谈到了“循环节”。

对于学生来说,循环节是一个饶有兴味的新事物。尽管在日常生活中也有一些循环现象,比如,一天24小时,一周7天,一年12个月,都在周而复始地运行着,不过人们已经习以为常,像循环小数这样的玩意儿,毕竟还是第一次遇到。所以,不妨让学生适当多了解一点有关循环节的知识,对于加深学生对数学的认识,提高学生学习数学的兴趣,还是有好处的。

循环节有下面一些相当有趣的特点:

1、循环节的位数一定小于除数,最多也要比除数小1

这一点很容易理解。因为余数总是比除数小,如果除数是ɑ,余数只能是123,…,ɑ-1,所以最多在除了ɑ-1位以后,继续除下去,余数肯定会重复出现,这样就形成了循环。

2、循环节位数的多少与除数的大小无关。

这一点解释起来就比较麻烦了,不过,可以举例说明。比如

1÷70.142857142857…,除数是7,循环节“142857”有6位;

10÷115.9090…,除数是11,比7大,循环节“90”却只有2位;

1÷230.04347826086956521739130434782608695652173913…,除数是23,循环节“0434782608695652173913”有22位;

75÷411.8292682926…,除数是41,比23大,循环节“82926”却只有5位。

3、某些循环小数的循环节是偶数位,把循环节分成位数相等的两段,对应数字的和总是9

比如,上面的循环节“142857”可以分成“142”和“857”两段,189459279。循环节“90”可以分成“9”和“0”两段,909。循环节“0434782608695652173913” 可以分成“04347826086”和“95652173913”两段,099459369459729819279639099819639

循环小数是一种既让人喜欢又让人发愁的数。在还没有计算器的年代,有时候算一道商是循环小数的除法题,那可是件相当困难的事。比如上面提到过的1÷23的结果,就是我年轻的时候用竖式算出来的,费了多少时间已经记不清了,反正得聚精会神地算上老半天。好在当时正在搞文化大革命,我在一所小学当数学老师,学校停课了闲着没事干,写写算算倒是个消磨时间的好法子。不过,我这点道行要是跟那位叫赫德逊的外国人比,可就差远了,简直是小巫见大巫。人家曾经算过1÷1861,得数是一个循环节有1860位的循环小数。这还不算顶峰,不是有句俗话叫“人外有人,天外有天”嘛,还有一位外国人叫向克斯,他竟然硬是把1÷17389的商算了出来,那可是一个循环节有17388位的循环小数!要问是什么力量支撑了赫德逊和向克斯他们,恐怕也只能用兴趣、爱好来解释了。这就是数学的魅力。

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