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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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再谈循环小数与循环节  

2010-09-27 15:55:00|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面在“循环小数与循环节”一文中,谈到“循环节位数的多少与除数的大小无关,这一点解释起来就比较麻烦了。”昨天,有网友提出,想知道为什么。下面就比较详细地谈一谈这个问题。

我们知道,循环小数包括纯循环小数和混循环小数,循环小数的整数部分还可以是0,或者不是0。为了突出主题剪除枝蔓,不妨把讨论范围限定在整数部分为0的纯循环小数。

假设有一个纯循环小数x0.ɑ1ɑ2ɑ3ɑ1ɑ2ɑ3…。由此可以推出1000x=ɑ1ɑ2ɑ3.ɑ1ɑ2ɑ3ɑ1ɑ2ɑ3…,1000xx=ɑ1ɑ2ɑ3999x=ɑ1ɑ2ɑ3x=ɑ1ɑ2ɑ3/999。说明这个纯循环小数可以化成分数,分子就是它的循环节,分母是与循环节位数相同的一连串39

把这个分数化成最简分数,ɑ1ɑ2ɑ3/999q/p,于是ɑ1ɑ2ɑ3999q/p,ɑ1ɑ2ɑ3在形式上是整数,而q不能被p整除,所以999就一定能被p整除,因此ɑ1ɑ2ɑ3999÷p×q。并且因为ɑ1ɑ2ɑ33位,得数也应该有3位,不足3位时就要在前面补0。这样就找到了确定循环节的方法。

推广到一般:

一个最简真分数q/p,如果分母p能够整除一连串最少n9,用所得的商乘分子q,得数(应该有n位,不足n位时在前面补0)就是这个最简真分数化成纯循环小数时的循环节。

如,21/37。因为一连串最少39才能被37整除,999÷372727×21567,所以21/370.567567…。

再如,8/13。因为一连串最少69才能被13整除,999999÷137692376923×8615384,所以8/130.615384615384…。

再如,2/37。因为999÷372727×25454只有两位,而9993位,在54前面要补一个0,所以2/370.054054…。

这就解释了循环节的位数为什么会忽多忽少,因为除数能整除的一连串9究竟有几位,跟除数之间没有一定的规律可以遵循。也正是因为循环节有这么一个不可捉摸的脾性,才使得循环小数更加迷人,更加神秘。

自从有了计算器以后,把一个分数化成循环小数简直易如反掌,不过,也恰恰是因为这样,才在一定程度上减少了探究循环小数奥秘的乐趣,而这种乐趣往往是学习数学不可替代的动力。有了这点切身的体会,我才不揣冒昧写了这两篇东西,希望能给有相同爱好的网友们提供一点开心的玩意儿。也不知道我的这点愿望能不能实现?

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