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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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数图形的两种基本方法  

2010-09-07 10:50:49|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数图形属于“计数”的范畴。通常,计数有两种基本方法,一种是“分类计数”,一种是“分步计数”。分类计数的理论基础是“加法原理”,分步计数的理论基础是“乘法原理”。具体采用什么方法,要根据图形的构成特点和学生的能力水平适当选择。如:

题目:正五边形和它的对角线可以形成多少个三角形?

            数图形的两种基本方法 - zhoushijingguo - 周靖国的博客

一.分类计数

  方法一:按组成分类。

  (1)单一的三角形(ABF、△AFJ、△AJE……)10个;

(2)2部分组成的三角形(ABJ、△AFE……)10个;

(3)3部分组成的三角形(ABE、△BEH……)10个;

(4)5部分组成的三角形 (ACD……)5个。

总共有101010535()

方法二:按形状分类。

根据图形的对称性:

(1)与△ABF 相同的有 5 个;

(2)与△ABJ 相同的有 5 个;

(3)与△ABE 相同的有 5 个;

(4)与△AFJ 相同的有 5 个;

(5)与△AFE 相同的有 5 个;

(6)与△ACD 相同的有 5 个;

(7)与△ACI 相同的有 5 个。

总共有5×735()

二.分步计数

抓住“所有的三角形都至少有一个顶点是五边形的顶点”这个特征。

第一步:以顶点A为代表。

(1)只涉及顶点A的三角形,只有△AFJ1个;

(2)涉及顶点A和另一个顶点的三角形,有△ABF、△ABJ、△ABG、△ACI、△ADG、△AEI、△AEJ、△AEF8个;

(3)涉及顶点A和另外2个顶点的三角形,有△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE6个。

第二步:推广到5个顶点。

(1)只涉及1个顶点的三角形无重复,有1×55()

(2)涉及2个顶点的三角形排除重复后,实际有8×5÷220()

(3)涉及3个顶点的三角形排除重复后,实际有6×5÷310()

总共有5201035()

可见,

分类计数比较直观,适合各年级学生。其中,方法一具有一般性,适用于所有图形;方法二只适用于特殊图形(对称图形,特别是多向对称图形)。

分步计数比较抽象,只适合分析概括能力较强的高年级学生。关键和难点在于发现图形构成的内在规律。

无论是分类计数还是分步计数,对于小学生来说,要求图形都不能太复杂,否则,极易发生重复或遗漏。设计题目时,必须从学生实际出发,不能要求过高。

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