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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

怎样判断一个数能否被7整除  

2010-10-18 17:07:30|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在掌握了能被235整除的数的特征之后,判断一个数能否被4689整除也就不成问题了,唯独判断一个数能否被7整除有点麻烦。下面介绍几种判断一个数能否被7整除的方法供老师们参考。这些方法各有所长,贵在熟练,不必求全。

1、去尾相加法:一个自然数,去掉它的末位数字之后,再加上末位数字的5倍,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

  判断1029能否被7整除。

解:去掉1029的末位数字9102,再加上末位数字9545147。继续下去,去掉147的末位数字714,再加上末位数字75354949能被7整除,所以1029能被7整除。

计算过程可以简单记作:10291029×5147147×549

2、去尾相减法:一个自然数,去掉它的末位数字之后,再减去末位数字的2倍,如果所得的差能被7整除,这个自然数就能被7整除。

例 判断15946能否被7整除。

解:去掉15946的末位数字61594,再减去末位数字62121582。继续下去,去掉1582的末位数字2158,再减去末位数字224154。再继续下去,去掉154的末位数字415,再减去末位数字42877能被7整除,所以15946能被7整除。

计算过程可以简单记作:1594615946×215821582×2154154×27

3、去头相加法:一个自然数(至少有3),去掉它的首位数,把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

例 判断8134能不能被7整除。

解:去掉8134的首位数8,把8216加在134的前两位数13上得294。继续下去,去掉294的首位数2,把224加在94上得9898能被7整除,所以8134能被7整除。

计算过程可以简单记作:81341348×20294942×298(82倍是16,为了把它加在13413上要添一个0)

4、去头相减法:一个自然数(至少有4),去掉它的首位数,把首位数从其余的数的左起第三位数中减去,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

例 判断9219能不能被7整除。

解:去掉9219的首位数9219,从219中减去9210210能被7整除,所以9219能被7整除。

计算过程可以简单记作:92192199210

5、两段相加法:把一个自然数分成末两位数一段,其余的数一段。计算末两位数那段与其余的数那段的2倍之和。如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

例 判断1036能不能被7整除。

解:把1036分成末两位数36和其余的数10两段,36加上102倍得5656能被7整除,所以1036能被7整除。

计算过程可以简单记作:1036→3610×256

6、两段相减法:把一个自然数分成末三位数一段,其余的数一段。计算末三位数那段与其余的数那段之差。如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

例 判断904841能不能被7整除。

解:把904841分成末三位数841和其余的数904两段,904与841的差是6363能被7整除,所以904841能被7整除。

计算过程可以简单记作:904841→904-84163

7、三位分节法:一个自然数从个位向左,3位一节(最后不足3位时也算一节),右起第一节减第二节、加第三节、减第四节、……照这样减加交错,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

例 判断21205219能否被7整除。

解:从21205219的个位向左,3位一节得21920521,第一节219减第二节205加第三节213535能被7整除,所以21205219能被7整除。

计算过程可以简单记作:21205219→2192052135

8、两位分节法:一个自然数从个位向左,2位一节(最后不足2位时也算一节),从右向左逐节依次1、2、4、1、2、4、……分别乘各节的数再相加,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

例 判断34825能否被7整除。

解:从34825的个位向左,2位一节得2548,3,逐节依次乘12425×148×2+3×4=133,继续下去,把133分为33、1得33×1+1×2=35。35能被7整除,所以34825能被7整除。

计算过程可以简单记作:34825→25×148×2+3×4=133→33×1+1×2=35。

  9、逐位求和法一个自然数从个位向左,逐位依次132、-1、-3、-2132、-1、-3、-2分别乘各个数位上的数再相加,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

例 判断1743能不能被7整除。

解:1743从个位向左依次是3471,逐位依次132、-1乘,得3×14×37×21×128。28能被7整除,所以1743能被7整除。

计算过程可以简单记作:1743→3×14×37×21×128

例 判断1789756能不能被7整除。

解:1789756从个位向左依次是6579871,逐位依次132、-1、-3、-2、1乘,得6×15×37×29×18×37×21×1=-11。11不能被7整除,所以1789756不能被7整除。

计算过程可以简单记作:1789756→6×15×37×29×18×37×21×1=-11

10、减去倍数法:常见的7的倍数有714212835424956638491981001等。从一个自然数的任意数位上减去这些倍数,如果余数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

比如上面那些例题:

1029 → 28。能被7整除。

   1001

15946 → 1946 → 945 → 35。能被7整除。

    减14   减1001   减91

8134 → 126 → 56。能被7整除。

   减8008   减7

9219 → 21。能被7整除。

   减9009

1036 → 35。能被7整除。

  减1001

904841 → 3941 → 938 → 28。能被7整除。

   减9009   减3003  减91

21205219 → 205009 → 4809 → 609 → 49。能被7整除。

     减21、21   减2002  减42    减56

34825 → 4795 → 791 → 7。能被7整除。

   减3003  减4004  减91

1743 → 742 → 0。能被7整除。

  减1001 减7、42

1789756 → 788 → 11。不能被7整除。

  减1001、7、56 减777

上面这些方法熟练以后可以综合运用,并且过程也可以写得更加简单。

例 判断123456789能不能被7整除。

解:先用“三位分节法789456123456再用“减去倍数法”去掉5644不能被7整除,所以123456789不能被7整除。

计算过程可以简单记作:1234567894564

例 判断987653142能不能被7整除。

解:先用“减去倍数法”去掉987426531;再用“两段相加法3165×2161;再用“去尾相减法161×21414能被7整除,所以987653142能被7整除。

计算过程可以简单记作:987653142653116114

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