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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

从一个数的约数谈起  

2011-11-28 15:32:23|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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我们知道:

一个数ɑ,如果能被数b整除,b就是ɑ的约数。

自然数(除了1以外)按照约数的多少,可以分成质数与合数两类:质数只有1和它自己两个约数;合数除了1和它自己以外,还有其它的约数;

上面这些知识都是非常浅显的,连小学生都知道。殊不知,在这些人们耳熟能详的知识中,却隐藏着许多饶有兴味的问题。

一、约数的个数

一个数的约数的个数,与这个数由哪些质因数组成有关。

12为例,分解质因数得到1222×3。在构成12的约数时,质因数2,可以取2(224)1(212)或者不取(201),有3种方法,“3”比质因数2的幂指数“2”多1;对于质因数3,可以取1(313)或者不取(301),有2种方法,“2”比质因数3的幂指数“1”多1。所以,总共可以组成3×26个约数,分别是22×314×31221×312×3620×311×3322×304×1421×302×1220×301×11

推广到一般:如果一个数N=ɑibjck,其中,ɑ、b、…、cN的质因数,ij、…、k是这些质因数的幂指数。

N的约数的个数等于:(i1)(j1)(k1)

360为例,36023×32×5。质因数235的幂指数分别是321,所以360的约数有(31)(21)(11)24个。

检验:360的约数有3601801209072604540363024201815121098654321,共24个。

二、约数的总和

仍以12为例,1222×3。根据上面所说的12的约数的构成,这些约数的总和等于:22×3121×3120×3122×3021×3020×30

化简后得到:(222120)(3130)

所以,12的约数总和等于:(421)(31)28

检验:12的约数有1264321126432128

推广到一般,如果一个数N=ɑibjck,其中ɑ、b、…、cN的质因数,ij、…、k是这些质因数的幂指数。

N的约数总和等于:

(ɑiɑi-1+ɑi-2+…+ɑ+1)(bjbj-1bj-2+…+b1)(ckck-1ck-2+…+c1)

这个结果可以化简:

由恒等式(x1)(xn-1xn-2+…+x1)xn1推知,(x1)(xnxn-1+…+x1)xn11

  从一个数的约数谈起 - 老骥 - 周靖国的博客

检验:

360的约数前面已经给出,36018012090726045403630242018151210986543211170

三、完全数

一个数的所有约数中,也包括这个数自己,除此之外,其余的约数都小于这个数,称为这个数的真约数。

如果一个数的真约数之和正好等于这个数,这个数就叫做完全数。如,6的真约数有3213216,所以6就是一个完全数,而且是最小的完全数。更大的完全数有284968128、……

早在两千多年以前,欧几里得就曾经给出了偶完全数的计算公式:

 2n-1(2n1)

式中,n是大于1的自然数,并且2n1必须是质数。这样就产生了另一个要求:式中的n不能是合数。因为:

如果n是偶合数,设n2m2n122m1(2m1)(2m1)2n1等于两个数的积,2n1就是合数,这是不允许的;

如果n是奇合数,设npq(pq为奇数)2n12pq1(2p)q1。根据前面引用过的恒等式

xn1(x1)(xn-1xn-2+…+x1)

可得

    2pq1(2p)q1(2p1)[(2p)q-1(2p)q-2+…+(2p)1)]

2n1等于两个数的积,2n1就是合数,同样是不允许的。

  所以n只能是质数。

上面所说的4个完全数6284968128,就是当n分别取前4个质数2357时得到的。

1个质数是2,当n2时,2n12214133是质数,所以第1个完全数是2n-1(2n1)22-1(221)2×(41)6

2个质数是3,当n3时,2n12318177是质数,所以第2个完全数是2n-1(2n1)23-1(231)4×(81)28

3个质数是5,当n5时,2n12513213131是质数,所以第3个完全数是2n-1(2n1)25-1(251)16×(321)496

4个质数是7,当n7时,2n12711281127127是质数,所以第4个完全数是2n-1(2n1)27-1(271)64×(1281)8128

5个质数是11,当n11时,2n1211120481204723×892047是合数,没有与11对应的完全数。

6个质数是13,当n13时,2n121318192181918191是质数,所以第5个完全数是2n-1(2n1)213-1(2131)4096×819133550336

用这种方法依次可以求出更大的完全数:

6个完全数是8589869056,对应的质数n17

7个完全数是137438691328,对应的质数n19

8个完全数是2305843008139952128,对应的质数n31

可以想象,越往后计算越困难,特别是所对应的质数没有规律,而判断一个数位很多的数是不是质数,就更加困难。在尚未发明电脑的时代,找到一个新的完全数,往往需要成年累月的计算,稍有不慎就会导致判断错误。有了电脑以后,情况大为改观,不过,已经发现的完全数都是偶数,至于是否存在奇完全数,依然是一个未解之谜。

四、多重完全数

换一种视角,如果把一个数的约数(包括它自己)全部考虑在内,完全数所有约数的总和就等于它的2倍。那么,有没有这样的数,它的全部约数的总和等于它的3倍、4倍、5倍……呢?有。这样的数称为多重完全数。通常的完全数就是二重完全数。下面是一些多重完全数的例子:

120是一个3重完全数。12023×3×5120的约数的总和是:

从一个数的约数谈起 - 老骥 - 周靖国的博客
    重数更多的完全数也有,但是由于数太大,约数太多,就不再举例了。

五、完全数的余波

有时,一个数的真约数之积,会等于这个数的某次幂,如:

12,它的真约数有123461×2×3×4×6144122

20,它的真约数有1245101×2×4×5×10400202

45,它的真约数有1359151×3×5×9×152025452

24,它的真约数有123468121×2×3×4×6×8×1213824243

40,它的真约数有1245810201×2×4×5×8×10×2064000403

48,它的真约数有1234681216241×2×3×4×6×8×12×16×245308416484

80,它的真约数有12458101620401×2×4×5×8×10×16×20×4040960000804

405,它的真约数有1359152745811351×3×5×9×15×27×45×81×135269042006254054

这样的数别具一格,就只能看作是完全数的余波了。

想不到,从一个数的约数谈起,竟然会引出这么多饶有兴味的问题,这再一次说明自然数的奇妙有趣。探究自然数的奥秘,无疑是数学家和数学爱好者永恒的追求。

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