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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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完全数公式  

2011-12-04 15:25:18|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面,在“从一个数的约数谈起”一文中,介绍了求一个数的约数总和的公式:

如果一个数N=ɑibjck,其中ɑ、b、…、cN的质因数,ij、…、k是这些质因数的幂指数。

N的所有约数的总和等于:

  (ɑi+11)/(ɑ-1)×(bj+11)/(b1)×…×(ck+11)/(c1)

同时,还介绍了求偶完全数的欧几里得公式。

       2n-1(2n1)

式中,n是大于1的自然数,并且2n1是质数。

其实,偶完全数欧几里得公式,可以从约数和公式推出来。下面就是推导的过程:

完全数的定义是:如果一个数的真约数之和等于这个数,或者一个数的约数之和等于这个数的2倍,这个数就是完全数。

按照完全数的定义,最小的完全数是66是偶数,把6分解质因数62×3。进而推想,偶完全数分解质因数后,一定等于若干个2与若干个奇质数乘幂的积。如果把若干个2的积记作2m(m1),把若干个奇质数乘幂的积记作p,那么,偶完全数就可以记作2mp

根据约数总和公式,2m的约数总和等于(2m+11)/(21)(2m+11)

p的真约数之和是q,那么,p的约数总和就是pq。于是,偶完全数2mp的约数总和就是(2m+11)(pq)

因为完全数的约数之和等于完全数的2倍,所以,(2m+11)(pq)2×2mp2m+1p

化简,(2m+11)(pq)2m+1p

2m+1p2m+1qpq2m+1p  (乘开)

         2m+1qqp    (消项,移项)

        2m+11p/q   (除以q)

2m+11是一个整数,p/q等于一个整数,并且,因为m1,所以2m+113,说明qp的真约数。而前面已经假设qp的真约数之和,这就意味着,qp唯一的真约数。

那么,什么样的数只有一个真约数呢?只有质数,并且这个真约数只能是1,即q1。于是,原来所设的偶完全数2mp,就等于2m(2m+11),并且,(2m+11)是一个质数。

如果把m1换成n,即m1nmn1,就得到求偶完全数的欧几里得公式:

       2n-1(2n1)

式中,n是大于1的自然数,并且2n1是质数。

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