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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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完全数  

2011-02-14 09:44:17|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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人教版小学数学五年级下期第14页的“你知道吗?”提到了完全数。完全数是合数的特殊情况。合数都至少有两个因数,一个是1,另一个是它自己,而完全数的因数,除了它自己以外,其余因数的和正好等于这个数本身,完全而无缺失,所以才把它称为完全数。

正像课本上说的那样,完全数十分稀少,直到2004年,才总共找到40个完全数,而且越来越大。课本给出了前4个完全数:6284968128,接下来的4个完全数是:3355033685808690561374386913282305843008139952128。第8个完全数已经大得吓人了,后边的完全数更是大得不可思议。

不过,只要认真观察,认真思考,认真探索,仅从这前几个完全数就能使我们有许多发现,产生许多猜想:

1、一眼就可以看出,这些完全数的个位数不是6就是8。进而猜想:所有完全数的个位数会不会都是这样?退一步想,所有完全数会不会都是偶数?

2、看看它们的整除性如何。试算发现:用9除的结果,除了6以外,其余的完全数除以9都余1。进而猜想:是不是除了6以外,所有完全数除以9都余1

3、试算发现:6123281234567496123+…+30318128123+…+126127。进而猜想:是不是所有完全数都可以表示成从1开始的连续自然数的和。

4、试算发现:6的因数是1236,它们的倒数和是1/11/21/31/6228的因数是12471428,它们的倒数和是1/11/21/41/71/141/282。进而猜想:是不是所有完全数因数的倒数和都等于2

5、从“4”进一步猜想:是不是所有完全数的因数中,除了1以外其余因数的倒数和都等于1

6、从“5”进一步猜想:是不是所有完全数的因数中,除了1和它本身以外,其余因数的倒数和,都等于以这个完全数为分母的最大真分数。

引导学生进行上面这些观察、思考和探索,对于加深学生对完全数的认识,培养学生的学习兴趣、观察能力、思考能力、推理能力和综合运用知识的能力,都有一定好处,不妨根据学生的实际情况适当选用。

对于一些数学功底比较好,所用计算器性能比较强的学生,还可以引导他们进一步观察、思考、探索:

7、试算发现:62122282223244962425262728812826272829210211212。进而猜想:是不是所有完全数都可以表示成2的一些连续自然数次方的和。

8、试算发现:2813334961333537381821333537393113133153。进而猜想:是不是除了6以外,所有完全数都可以表示成连续奇数的立方和。

实施课程改革以后,课本增加了“你知道吗?”这类教学资源,应该把它看成是一个知识的窗口,一次教学的机会。如何运用,可以见仁见智,因人而异,但是,绝对不可视而不见,弃而不用,否则对师生都只会是一种损失,一种缺憾。有句老话:失之毫厘,谬以千里。学生的发展,教师的进步,往往就系于一念之间,这是值得我们认真深思的。

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