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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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杨辉三角  

2011-05-14 08:09:07|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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人教版小学数学五年级下期第115页第10题,涉及著名的“杨辉三角”,对此,教参中已有所介绍。为了提高学生的学习兴趣,加深对“杨辉三角”的理解,增强学生的民族自豪感和爱国热情,下面推荐一个有趣的数学游戏。

老师出示一张图(有条件的可以使用多媒体):

杨辉三角 - 伏枥老骥 - 周靖国的博客

  宣布:“现在和同学们玩一个有趣的数学游戏。请一位同学在这个图的最下面一行6个圆圈里任意各填一个一位数,我随即在顶端那个圆圈里写一个数。然后,大家按照图中的连线,算出最下面那行相邻两个圆圈里的数的和,填入上一行的圆圈里。自下而上照这样进行下去,直到算出顶端那个圆圈里应该填的数,一定跟我已经填好的数一样。哪位同学愿意试一试?”

等那位同学把最下面一行的6个数填好以后,老师迅速算出左起第三、四两个数的和的10倍,加上第二、五两个数的和的5倍,再加上第一、六两个数的和,得数就是顶端那个圆圈里应该填的数。

比如,从左到右,学生所填的数是418623,老师就应该填10×(86)5×(12)(43)140157162

这是为什么呢?原来,“杨辉三角”中的数是有规律的:

杨辉三角形 - 伏枥老骥 - 周靖国的博客

规律是:自上而下,每个圆圈里的数等于与它相连的,上一行圆圈里的数的和。比如,第三行中间圆圈里的数之所以是2,就因为与它相连的第二行两个圆圈里的数都是1112。依此类推。

    游戏相当于把上面的过程倒回去,所以要把圆圈里的数分别乘上15101051

  等玩过两三次以后,学生一定会急于知道老师是怎样做到未卜先知的,甚至有些爱动脑筋的学生,已经在开始探求其中的奥秘了。这时,可以启发学生用学过的“用字母表示数”的方法,看看最下面那行所填的6个数,在整个计算过程中究竟各用了几次。

设:第六行所填6个数依次为ABCDEF。第五行就是ABBCCDDEEF;第四行就是A2BCB2CDC2DED2EF;第三行就是A3B3CDB3C3DEC3D3EF;第二行就是A4B6C4DEB4C6D4EF;顶端的数就是A5B10C10D5EF,即10(CD)5(BE)(AF)。从而得出前面所总结出的方法。

“杨辉三角”在组合数学中有着重要作用,同时又具有直观形象的特点,对于培养学生的思维能力很有好处,值得借助于习题所提供的机会给予适当的扩展。

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