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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

换个视角天地宽  

2011-10-26 10:33:04|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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以前只知道,三角形内角和定理(三角形的内角和是180°)很重要。比如,用它可以推出任意多边形(凸多边形)的内角和等于边数减2180°。所以:

四边形的内角和是(42)×180°=360°,

五边形的内角和是(52)×180°=540°,

六边形的内角和是(62)×180°=720°,

……

后来听说数学大师陈省身先生认为,三角形内角和定理看问题的角度太狭隘,对于多边形,不应该只看内角,还应该看外角。结论是:任意多边形的外角和都是360°。

想想看,事实还的确是这样。因为任意多边形的一个内角与相应的外角之和都是180°,据此可以算出:

三角形有3个内角,内角与外角的和是3×180°=540°,减去内角和180°,外角和是540°-180°=360°;

四边形有4个内角,内角与外角的和是4×180°=720°,减去内角和360°,外角和是720°-360°=360°;

五边形有5个内角,内角与外角的和是5×180°=900°,减去内角和540°,外角和是900°-540°=360°;

六边形有6个内角,内角与外角的和是6×180°=1080°,减去内角和720°,外角和是1080°-720°=360°;

……

大师就是大师,果然看问题的角度跟一般人不一样。更加出人意料的是,陈大师证明“任意多边形的外角和是360°”,所用的方法也非同寻常。他是这样说的:如果一只蚂蚁从一个任意多边形的一个顶点出发,沿着边绕多边形爬一圈,每到一个角就要转一个角度,也就是那个角的外角的度数,一圈爬下来,不正好转了360°吗?一向被人看作高深莫测的数学中,所蕴含的道理竟然如此浅显!

这正是:换个视角天地宽。数学是如此,人生又何尝不如此。

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