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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

再谈“杨辉三角”  

2011-05-20 09:20:20|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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早年,上学的时候,学到二项式定理,听老师介绍过,用“杨辉三角”

                1

               1  1

                            1   2   1

                          1   3   3   1

                        1   4   6   4   1

                      1   5   10  10   5   1

                    1   6   15  20  15   6   1

                  1   7   21  35  35  21   7   1

                               ……

可以非常方便地确定(ɑ+b)n展开后各项的系数。比如,

n2的时候,(ɑ+b)2展开后各项的系数就是它第三行的数“121”。

    (ɑ+b)2=ɑ22ɑbb2

n3的时候,(ɑ+b)3展开后各项的系数就是它第四行的数“1331”。

    (ɑ+b)3=ɑ33ɑ2b3ɑb2b3

n4的时候,(ɑ+b)4展开后各项的系数就是它第五行的数“14641”;

    (ɑ+b)4=ɑ44ɑ3b6ɑ2b24ɑb3b4

依此类推。

后来,神差鬼使当上了老师,为了对得起学生,也为了满足自己对数学的兴趣,书看得多了,知识面广了,才知道“杨辉三角”中还隐藏着许多有用的信息。

请看这些斜线上的数:

再谈杨辉三角 - 伏枥老骥 - 周靖国的博客

  一、自然数:1234,…

求前n个自然数的和,无需使用公式,答案就在第n个自然数的左下方。比如,前4个自然数的和,就在第4个自然数4的左下方,是10。前5个自然数的和,就在第5个自然数5的左下方,是15。依此类推。

二、三角形数:13610,…

三角形数就是可以用点“排”成三角形的数。最顶端1个点,下一排2个点,再下一排3个点,再下一排4个点,5个点,6个点……所以,三角形数依次是11231236123410,……即13610,…

求前n个三角形数的和,无需使用公式,答案就在第n个三角形数的左下方。比如,前4个三角形数的和,就在第4个三角形数10的左下方,是20。前5个三角形数的和,就在第5个三角形数15的左下方,是35。依此类推。

三、四面体数:141020,…

四面体数就是可以用三角形数“垒”成四面体的数。最顶端1个点,下一层3个点,再下一层6个点,再下一层10个点,15个点,21个点……所以,四面体数依次是1134136101361020,……即141020,…

求前n个四面体数的和,无需使用公式,答案就在第n个四面体数的左下方。比如,前3个四面体数的和,就在第3个四面体数10的左下方,是15。前4个四面体数的和,就在第4个四面体数20的左下方,是35。依此类推。

最让人感到意外的是,“杨辉三角”竟然还与“菲波那契数列”有着密切的关系。请看下图:(图中的斜线可以一直画下去)

再谈杨辉三角 - 伏枥老骥 - 周靖国的博客

斜线上数的和,依次是11112123131514381561131610421171510134,……

112358132134,……不正是“菲波那契数列”吗?

  “杨辉三角”真称得上是一个数学宝藏,它的这些奇妙之处都是后来陆续被发现的,究竟其中还隐藏着多少奥秘,仍然是一个未知数。发掘宝藏,需要兴趣和毅力,也许新的发现正在向你招手呢!

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