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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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连续自然数立方和公式探源  

2011-06-11 08:51:18|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面在“有趣的图形数”和“求连续自然数立方和的公式”两篇文章中,曾经两次推导过求连续自然数立方和的公式:

132333+…+n3[n(n1)/2]2

一次用的是“图形法”,一次用的是“列表法”。其实,早在公元100年前后,毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯,在他的著作《算术入门》中就曾经用非常简单的方法推导过这个公式。

现在,让我们按照他的思路,重复一下这个公式的推导过程。

过程大体上是这样的:

首先,从奇数列的一个性质入手。

奇数列135791113,…有一个性质,很容易验证:

              113

            3523

          791133

       1315171943

     212325272953

             ……

请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端:

1个等式左端,结束于第1个奇数;

2个等式左端,结束于第3个奇数;

3个等式左端,结束于第6个奇数;

4个等式左端,结束于第10个奇数;

5个等式左端,结束于第15个奇数;

……

结果发现,这些奇数的序数1361015,…原来是“三角形数”,它的每一项等于从1开始的连续自然数的和。第1项是1,第2项是123,第3项是1236,第4项是123410,第5项是1234515,……第n项是123+…+nn(n1)/2。即,第n个等式左端,结束于第n(n1)/2个奇数。

然后,对上面这一系列等式的左右两端,分别求和:

右端是连续自然数的立方和132333+…+n3

左端是连续奇数的和。我们知道,求连续奇数的和,求到第几个奇数,就等于第几个奇数的平方。现在,求到第n(n1)/2个奇数,当然等于[n(n1)/2]2

这样就得到求连续自然数立方和的公式:

132333+…+n3[n(n1)/2]2

这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法,显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的宠爱有关。图形数是自然数的形象化,自然数是众数之源,自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。

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