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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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n阶十字方  

2011-08-29 08:04:50|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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n阶十字方

下面的图形是由一些带两条对角线的小正方形组成的,共有4行、4列、42个这样的小正方形:

n阶十字方 - 老骥 - 周靖国的博客

    这里,把类似上图这样,由nn(n为自然数)n2个带有两条对角线的基本正方形组成的图形,称为“n阶十字方”。上图就是一个4阶十字方。

    数图形的问题,对于锻炼思维的缜密性、有序性、灵活性和观察能力、抽象概括能力都很有好处。n 阶十字方中有多少个正方形和三角形,就是一个饶有兴趣的数图形问题。本文用观察分析、分类计数和不完全归纳等最基本的数学方法,得出这两个问题的一般解,供有兴趣的网友参考。

    为了便于观察和分类,用ab分别表示基本正方形的边长和对角线的长度,并以上图为参照图形。

一、正方形的个数

    首先,把图中的正方形分为“直立的”和“倾斜的”两类。

    1、直立的正方形

把边长为ia(i123,…,n )的正方形的个数记作Ai,自上而下观察发现:边长为a的正方形共有n行,每行n个,A1n2;边长为2a的正方形共有n1行,每行n1个,A2(n1)2;同理,A3(n2)2,…,An12。于是,这类正方形的总数

  An2(n1)2(n2)2+…+12

    从后向前看,也就是:

   A122232+…+n2

2、倾斜的正方形

其边长可以分为两个序列:b2b3b,…和b/23b/25b/2,…。

    (1)第一序列:b2b3b,…

    把边长为ib(i123,…,n)的正方形的个数记作Bi,从左上方到右下方观察发现:边长为b的正方形,第一排(斜着看,下同)1个;第23个;第35个;……依次是连续奇数,到整个图形对角线的那一排(n1)达到最大值(n1个奇数)。我们知道,第m个奇数等于2m1,所以最大值是2(n1)1个;接着逐排递减,仍为奇数个,直到1个为止。于是

       B1135+…+[2(n2)1][2(n1)1][2(n2)1]+…+531

我们还知道,求从1开始的连续奇数的和,到第m项等于m2。上式前半部分,是从135,…的第1项到第n1项,和是(n1)2;后半部分如果从后向前看是从135,…的第1项到第n2项,和是(n2)2。所以

  B1(n1)2(n2)2

    同理

        B2(n3)2(n4)2

         ……

直到最后一项是12为止。

    于是,这类正方形的总数

        B(n1)2(n2)2(n3)2+…+322212

    从后向前看,也就是:

        B122232+…+(n1)2

(2)第二序列:b/23b/25b/2,…

把边长为ib/2的正方形的个数记作Ci(i123,…,n ),从左上方到右下方观察发现:边长为b/2的正方形,第1(斜着看,下同)2个;第24个;第36个;……依次是连续偶数,到正方形的一条边与整个图形的对角线重合的那一排(n1)达到最大值。我们知道,第m个偶数等于2m,所以最大值是2(n1)个;后面各排与前面各排对称。于是

        C1246+…+2(n1)2(n1)+…+642

我们还知道,求从2开始的连续偶数的和,到第m项等于m(m1)。上式的前半部分,是从246,…的第1项到第n1项,等于(n1)[(n1)1]n(n1),后半部分和它相同,所以

        C12n(n1)

    同理

        C32(n2)(n3)

        C52(n4)(n5)

            ……

规律是:随着i的递增,Ci的后两个因数每次递减2。所以,这类正方形的总数C,可以按照这个规律,从2n(n1) 开始依次写出,直到有一个因数等于1为止。于是

C2[n(n1)(n2)(n3)(n4)(n5)+…]

综上所述,图中正方形的总数Z3部分组成:

  A122232+…+n2

B122232+…+(n1)2

C2[n(n1)(n2)(n3)(n4)(n5)+…]

观察发现:AB可以合并成2[122232+…+(n1)2]n2

于是

Z2[122232+…+(n1)2]n22[n(n1)(n2)(n3)(n4)(n5)+…]

    1  4阶十字方中正方形的个数。

    n4

Z2[122232+…+(n1)2]n22[n(n1)(n2)(n3)(n4)(n5)+…]

 2[122232]422[4(41)(42)(43)]

2(149)162(4×32×1)

2×14162×14

281628

72()

    2  7阶十字方中正方形的个数。

    n7

Z2[122232+…+(n1)2]n22[n(n1)(n2)(n3)(n4)(n5)+…]

 2×[122232+…+(71)2]722×[7×(71)(72)×(73)(74)×(75)(76)×(77)]

 2×[122232425262]722×[7×65×43×21×0]

 2×(149162536)492×(422060)

2×91492×68

18249136

367()

 二、三角形的个数

    图中的三角形都是等腰直角三角形。显然,直角顶点向上、下、左、右4个方向的三角形个数相等;直角顶点向左上、右上、左下、右下4个方向的三角形个数相等。

    1、直角顶点向上的三角形

    把斜边长度为ia的直角三角形的个数记作Di(i123,…,n),自上而下观察发现:

      i1时,共有n行,每行 n 个, D1n×n

      i2时,共有n行,每行n1个,D2n(n1)

      i3时,共有n1行,每行n2个,D3(n1)(n2)

      i4时,共有n1行,每行n3个,D4(n1)(n3)

      i5时,共有n2行,每行n4个,D3(n2)(n4)

      i6时,共有n2行,每行n5个,D4(n2)(n5)

      ……

    规律是:随着i的递增,斜边长度为ia的直角三角形的行数,从n开始每2行减1;每行的个数,从n开始逐行减1。于是,这类三角形的总数D,可以按照这个规律,从 n×n 开始依次写出,直到第二个因数等于1为止。于是

Dn×nn(n1)(n1)(n2)(n1)(n3)(n2)(n4)(n2)(n5)+…

2、直角顶点向左上方的三角形

把斜边长度为ib(i123,…,n)的三角形的个数记作Ei, 显然Ei等于它所在的正方形的个数Ai,而Ai122232+…+n2,所以,这类三角形的总数

        E122232+…+n2

    综上所述,图中三角形的总数

        S4(DE)

     =4{[n×nn(n1)(n1)(n2)(n1)(n3)(n2)(n4)(n2)(n5)+…](122232+…+n2)}

    3  4阶十字方中三角形的个数。

    n4

S4{[n×nn(n1)(n1)(n2)(n1)(n3)(n2)(n4)(n2)(n5)+…](122232+…+n2)}

 4×{[4×44×(41)(41)(42)(41)(43)](12223242)}

4×{[4×44×33×23×1](14916)}

4×{[161263]30}

4×{3730}

4×67

     268()

    4  7 阶十字方中三角形的个数。

S4{[n×nn(n1)(n1)(n2)(n1)(n3)(n2)(n4)(n2)(n5)+…](122232+…+n2)}

 4×{[7×77×(71)(71)(72)(71)(73)(72)(74)(72)(75)(73)(76)](12223242526272)}

 4×{[7×77×66×56×45×35×24×1)](14916253649)}

 4×{[4942302415104]140}

4×{174140}

 4×314

     1256()

  从上面4个例题可以看出,当n4的时候,n阶十字方中的正方形和三角形的个数已经相当可观,如果只用观察的方法进行计数的话,既非常烦琐又很容易发生重复或遗漏,而使用公式就轻而易举。有兴趣的网友,不妨取n3,对两种方法作一下对比,感受一下数图形的乐趣和公式的魅力。

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