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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

爱因斯坦与钟针对调问题  

2012-04-15 15:14:18|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面谈到了“钟针对调问题”,据说,爱因斯坦还有一段与这个问题有关的轶事。

有一次,爱因斯坦病了,他的一位朋友来看他,为了帮他消磨时间,给他出了一道题目:钟表上的两根针,在什么位置的时候可以对调,使得对调后仍然能指示实际可能的时间?

爱因斯坦边听边想,回答说:“是的,这对病在床上的人的确是一个很好的问题,够有趣味而又不太容易。只是恐怕消磨不了多少时间,我已经快要解出来了。”

说着,爱因斯坦从床上坐起来,在纸上勾勾画画演算了一番,时间不长就把问题解出来了。

他的解法是这样的:

钟面上从“12”字开始,一圈有60格,把它看成是一个环形数轴。假设按照题目的要求,在这样一个钟针可以对调的时刻,时针指向x格,分针指向y格。因为时针每小时走5格,所以这时时针已经走了x/5小时。分针每小时走60格,所以分针从某个整点开始走了y/60小时。因为在此之前分针可能已经走了一些圈,所以x/5可能会比y/60大一个整数m,就是此前分针已经走过的圈数,于是x/5y/60mm0或者123,…,11。同理,当钟针对调之后,时针指向y,分针指向x,同样有y/5x/60nn0或者123,…,11。于是得到方程组:

x/5y/60my/5x/60n

由此可以解出:x60(12mn)/143y60(12nm)/143

分别用0123,…,1112个数取代mn,就可以得到方程组的全部12×12144个解。不过,

mn同时等于0时:x60×(12×00)/1430y60×(12×00)/1430x0y0,表明时针和分针都指向钟面上的“12”。

mn同时等于11时:x60×(12×1111)/14360y60×(12×1111)/14360x60y60,表明时针和分针也都指向钟面上的“12”。

这两个解相同,所以方程组的全部解,实际只有1441143个。

由此可见,爱因斯坦的解法的确既巧妙又全面,真不愧是一位伟大的科学家。

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