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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

有趣的平方和等式  

2011-12-14 14:30:41|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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下面是一些关于平方和的等式:

    1242627222325282  (都等于102)

    2252728232426292  (都等于142)

    32628292425272102  (都等于190)

观察发现:这3个等式中的8个平方数的底数都是连续自然数。(第一个等式是18,第二个等式是29,第三个等式是310)。

进一步观察又发现:如果用①~⑧表示3个等式中,从小到大第一个自然数的平方到第八个自然数的平方,那么,这3个等式都可以归结为:

    ①+④+⑥+⑦=②+③+⑤+⑧

难道这就是组成这类等式的规律吗?让我们换8个数,比如411试试看:

①=4216,②=5225,③=6236,④=7249,⑤=8264,⑥=9281,⑦=102100,⑧=112121

①+④+⑥+⑦=164981100246,②+③+⑤+⑧=253664121246。果然①+④+⑥+⑦=②+③+⑤+⑧。

再换大一点的数,比如5764试试看:

①=5723249,②=5823364,③=5923481,④=6023600,⑤=6123721,⑥=6223844,⑦=6323969,⑧=6424096

①+④+⑥+⑦=324936003844396914662,②+③+⑤+⑧=336434813721409614662。果然①+④+⑥+⑦=②+③+⑤+⑧。

当然,验证不能代替证明。为了检验上面发现的规律有没有普遍性,设8个连续自然数是nn1n2n3n4n5n6n7

①+④+⑥+⑦=n2(n3)2(n5)2(n6)2n2(n26n9)(n210n25)(n212n36)4n228n70

②+③+⑤+⑧=(n1)2(n2)2(n4)2(n7)2(n22n1)(n24n4)(n28n16)(n214n49)4n228n70

于是,①+④+⑥+⑦=②+③+⑤+⑧,即

n2(n3)2(n5)2(n6)2(n1)2(n2)2(n4)2(n7)2

看来,我们的确发现了一个有普遍性的规律。于是,想写出多少个这样的等式就能写出多少个这样的等式。比如,

123130就能写出:

   12321262128212921242125212721302

987654321987654328就能写出:

   98765432129876543242987654326298765432729876543222987654323298765432529876543282

由此我们得到一个可贵的经验:观察—探索—发现—验证—证明,看来是学习数学的一个有效方法,值得记取。

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