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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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有趣的图形数(续)  

2011-09-07 17:01:11|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面,在“有趣的图形数”一文中,曾经提到,古希腊的毕达哥拉斯学派把自然数看成是点的集合,尤其对可以排成三角形、正方形的数情有独钟,把它们称为“三角形数”和“正方形数”。

我们知道,自然数是:

  12345678910,…

三角形数,实际上就是从1开始的一些连续自然数的和:

  1361015212836455566,…

正方形数,实际上就是自然数ɑ的平方ɑ2

  149162536496481100,…

那么,有没有这样的自然数,既是三角形数又是正方形数呢?有,并且有无限多个,它们是:

  136122541616141372148024900,…

这类数是两个正方形数的积,它的一般公式是b2c2

112×12b=1,c=1;

3632×22b3c2

122572×52b7c5

41616172×122b17c12

1413721412×292b41c29

48024900992×702b99c70

……

这也许还算不上多么奇特,可是自然数bc2的平方根,这两个风马牛不相及的事物之间,竟然有着非同寻常的关系,就让人匪夷所思了!

我们知道,2的平方根1.414213562…是一个无理数,它的近似值可以用下面一系列连分式表示:

有趣的图形数(续) - 老骥 - 周靖国的博客

这些分数3/2、7/5、17/12、41/29、99/70不正是b/c吗,真是不可思议!

三角形数、正方形数,既然可以看成点的集合,那么,如果把三角形数:

  1361015212836455566,…

“一层一层摞起来”,就可以形成“四面体数”:(四面体——底面是三角形的锥体。图略)

  141020355684120,…

同样,如果把正方形数:

  149162536496481100,…

“一层一层摞起来”,就可以形成“金字塔数”:(金字塔——底面是正方形的锥体。图略)

  1514305591140204,…

那么,有没有这样的自然数,既是正方形数又是金字塔数呢?有,但是只有一个,就是4900,这不能不让人感到有点意外!

自然数、三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数之间,还有一些奇妙的性质。有的在前文中已经谈到,比如:

1、从1开始的连续自然数的立方和,等于相应的三角形数的平方。,

1开始的前3个自然数的立方和是132333182736,而第3个三角形数是662也等于36。1开始的前5个自然数的立方和是1323334353182764125225,而第5个三角形数是15152也等于225

2、任意两个相邻的三角形数的和,都是正方形数。如,

三角形数1361015212836455566,…中,3692128494555100,而949100都是正方形数;

而下面这条新的性质就更加难以想像:

 3、任意两个相邻的四面体数的和,都是金字塔数。如,

四面体数141020355684120,…中,1+4=5,41014,10+20=30,203555,35+56=91,5684140,84+120=204,而5、14、30、55、91、140、204都是金字塔数。

三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数,都是自然数的化身。自然数就是这样,既朴实无华又奥妙无穷。难怪毕达哥拉斯学派对自然数会顶礼膜拜奉为神明。自然,是世间万物的本源,自然,又是世间万物的归宿。在数学中,自然数又何尝不是这样!

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