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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

又是裴波那契数列  

2012-04-22 09:45:56|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面在“裴波那契数列”“再谈裴波那契数列”和“再谈杨辉三角”几篇文章中,已经谈到了裴波那契数列的许多奇妙性质。下面将要谈到的还是一个有关裴波那契数列的话题。这一次,看来又要用上“匪夷所思”这个词语了。

我们知道,裴波那契数列是由“一对小兔子长成大兔子,大兔子生小兔子,生生不息以至无穷”而形成的数列:

  1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

它的规律是:从第三项起,每项都等于它前两项的和。继续写下去将是:

  233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,…

我们还知道,质数除了2和5以外,它们的倒数都是循环小数。像质数89的倒数就是一个循环小数,它的循环节有44位,是:

  01123595505617977528089887640449438202247191

  1/89=01123595505617977528089887640449438202247191…

现在请你仔细观察,这个循环节与斐波纳契数列是不是有点儿相似之处?

相信你一眼就会看出,这个循环节的第2到6位是1,1,2,3,5,跟斐波纳契数的前5项1,1,2,3,5,一模一样。

也许你会觉得,原来如此,就这么一丁点儿个事儿简直不值一提。真是小题大做!

先别急,请你耐下心来,再仔细观察一下裴波那契数列,你会发现,它的前6项都是一位数,从第7项开始位数逐渐增加,慢慢儿变成了两位数、三位数、四位数、五位数、六位数……

现在请你把它的第7项13,向后错一位加在第6项“8”上面,

    0 1 1 2 3 5 8

                       1 3

          0 1 1 2 3 5 9 3

是不是出现了循环节的第7位数字“9”?

好了,照这样,总是向后错一位加下去

    0 1 1 2 3 5 8

                                   1 3

                                       2 1

                                          3 4

                                             5 5

                                                8 9

                0 1 1 2 3 5 9 5 5 0 3 9

是不是出现了循环节的第8位数字“5“、第9位数字“5”和第10位数字“0”?

真是奇了怪了!

来兴趣了吧?那么,继续下去循环节的其它数字会不会依次出现呢?这里卖个关子,主动权可就掌握在你自己手里了!

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