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周靖国的博客

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中国象棋棋盘中的正方形和长方形  

2012-10-14 07:57:11|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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下面是中国象棋棋盘:

中国象棋盘中的正方形和长方形 - 老骥 - 周靖国的博客

一眼就可以看出,其中有许多小正方形。而“楚河汉界”是一个长方形。其实,由这些小正方形和那个“楚河汉界”长方形,还可以组成许许多多大大小小的正方形和长方形。那么,究竟有多少个正方形和长方形呢?这倒是一个平时很少想过而又饶有兴味的问题。

先来看正方形吧!

因为上、下半张棋盘是相同的。所以,首先来数一下半张棋盘上有多少个正方形。

以下半张棋盘为例:

最小的正方形有4行,每行8个,共4×8=32个;

相邻2行中,由4个小正方形组成的正方形有3排,每排7个,共3×7=21个;

相邻3行中,由9个小正方形组成的正方形有2排,每排6个,共2×6=12个;

全部4行中,由16个小正方形组成的正方形只有1排,共5个;

一共有32+21+12+5=70个这类正方形。所以,整张棋盘上共有70×2=140个这类正方形。

现在,把目光转移到整张棋盘:

整张棋盘宽8个小正方形,长相当于9个小正方形,其中必然包含2个正方形。一个从棋盘底边到顶边下面的那条直线,另一个从棋盘顶边到底边上面的那条直线。

所以,整个棋盘上一共有140+2=142个正方形。没有想到会这么多吧?

再来看长方形,可就没有正方形那么简单了。为了便于思考,先把正方形也归入长方形,看作是长方形中长和宽相等的特殊情况。

以下半张棋盘为例:

每条横线都分成了8小段,每1小段、每相邻2小段、3小段、4小段、5小段,6小段、7小段,以及整条横线,都可以作为长方形的长。

每条竖线都分成了4小段,每1小段、每相邻2小段、3小段,以及整条横线,都可以作为长方形的宽。

所以,半张棋盘上共有(8+7+6+5+4+3+2+1)×(4+3+2+1)=36×10=360个长方形。减去其中在前面已经数过的70个正方形,实有360-70=290个长方形,整张棋盘上共有2×290=580个这样的长方形。简直不敢相信,竟然会有这么多!

现在,把目光转移到整张棋盘。

下半张棋盘中,像棋盘底边那样的直线有5条。上半张棋盘中,像棋盘顶边那样的直线也有5条。分别从上、下半张棋盘中各取一条这样的直线作对边,都可以形成一个长方形,一共可以形成5×5=25个长方形。其中2个正方形前面已经见到过,所以,实有25-2=23个这样的长方形。

综上所述,总共有580+23=603个长方形。越发让人感到匪夷所思!

想不到中国象棋棋盘这样一个司空见惯的简单图形中,竟然隐藏了这么多正方形和长方形,并且数的过程又如此颇费思索、引人入胜。这又一次显示了数学的无处不在和它的无穷魅力。

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