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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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十全数中的珍品(续2)  

2012-10-05 15:45:25|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面,在“十全数中的珍品”一文中,介绍了“十全数”,就是用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字组成的十位数。

这里提出两个有趣的个问题:

问题一、能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的“十全数”,最大的是多少?

问题二:能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的“十全数”,最小的是多少?

为了找到解决问题的突破口,先把有关的整除条件,认真梳理推敲一番:

1、因为1是所有自然数的约数,所以,不必考虑除数是1的情况;

2、因为“十全数”10个数字的和是45,45能被9整除,而3又是9的约数,所以不必考虑除数是9和3的情况;

3、因为能被5整除的数,个位数只能是0和5,而这个数还要被2、4、6、8这些偶数整除,所以它个位数只能是0;

4、因为2、4都是8的约数,所以只需考虑除数是8的情况就可以了。而一个数能被8整除的条件是末三位数能被8整除;

5、因为6的约数2、3已分别包含在8、9之中,所以不必再考虑除数是6的情况。

归纳以上分析得出,能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的“十全数”,必须具备下面两个条件:

1、末尾是120、160、240、280、320、360、480、520、560、680、720、760、840、920、960;

2、能被7整除。

第一个条件可以有目的地选择使用;第二个条件没有捷径可走,只能用试算的办法,好在有了计算器,可以节约许多时间和精力,同时也是练习使用计算器的一次很好的机会。

先来看第一个问题:

要让用0~9这10个数字组成的“十全数”比较大,就要尽可能把较大的数字排在前面,把较小的数字排在后面,不妨用987开头,把120排在末尾,把6、5、4、3这4个数字所组成的数排在中间。

987能被7整除,6、5、4、3这4个数字有24种不同的排列,从大到小依次是:6543、6534、6453、6435、6354、6345、5643、5634、5463、5436、5364、5346、4653、4635、4563、4536、4365、4356、3654、3645、3564、3546、3465、3456。试算发现,5643120能被7整除,所以,能同时被1~9整除的“十全数”,最大的是9875643120。

再来看第二个问题:

要让用0~9这10个数字组成的“十全数”比较小,就要尽可能把较小的数字排在前面,把较大的数字排在后面。如果用1234开头,那么,末三位数数字中含有1、2、3、4的就不再考虑,只能取560、680、760、960。

如果取560,还剩下7、8、9这3个数字,有6种不同排列,从小到大依次是:789、798、879、897、978、987。因为1234被7除余2,560能被7整除,而2789、2798、2879、2897、2978、2987都不能被7整除,所以无解;

如果取680,还剩下5、7、9这3个数字,有6种不同排列,从小到大依次是:579、597、759、795、957、975。因为1234被7除余2,试算发现,只有2759680能被7整除,于是得到1个解1234759680;

如果取760,还剩下5、8、9这3个数字,有6种不同排列,从小到大依次是:589、598、859、895、958、985。因为1234被7除余2,试算发现.2895760、2958760能被7整除,于是又得到2个解1234895760、1234958760;

如果取960,还剩下5、7、8这3个数字,有6种不同排列,从小到大依次是:578、587、758、785、857、875。因为1234被7除余2,试算发现,2857960能被7整除,于是又得到1个解1234857960;

所得到的4个解1234759680、1234895760、1234958760、1234857960中,1234759680最小,所以,能同时被1~9整除的“十全数”,最小的是1234759680。

求出这两个特殊的“十全数”,不仅让我们又一次感爱到数的奥妙,而且在探求过程中,综合运用了整除、分析、归纳、排列、试算、比较、判断等许多数学知识和数学思想方法,这才是尤为可贵的。因为学习数学、运用数学、研究数学,就是要能够灵活地驾驭所掌握的数学知识和数学思想方法。愿我们在学习、运用、研究数学的过程中,充分感受到它特有的魅力,领略到它特有的韵味,享受到由此带来的特有的乐趣!

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