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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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“怎样判断一个数能否被7整除”的道理  

2012-06-16 01:28:09|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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有不少网友,对前面“怎样判断一个数能否被7整除”一文很感兴趣,并且问我,所介绍的方法是什么道理。下面就对这个问题做一些比较简要的解释:

首先,任何一种方法的出发点,都是要把原来的数变得小一些,但是,无论怎样变,都不能改变原数对7的整除性,也就是说,原数在变小的过程中,减少的部分必须能被7整除。这是一个根本原则。

1、去尾相加法一个自然数,截去它的末位数字之后,再加上末位数字的5倍,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

道理是:一个自然数如果能被7整除,除到最后,那时的“被除数”一定是7的倍数,即71421283542495663之一。观察发现:去掉这些数的末位数字后,再加上末位数字的5倍,所得的和能被7整除。

如,14的末位数字是4,去掉4以后,新的末位数字是11加上4520,得2121能被7整除。

再如,28的末位数字是8,去掉8以后,新的末位数字是22加上85404242能被7整除。

再如,63的末位数字是3,去掉3以后,新的末位数字是66加上35152121能被7整除。

至于7,本来就是7的倍数,去掉7以后,新的末位数字是0,0加上75倍35得35,35当然能被7整除。

2、去尾相减法一个自然数,截去它的末位数字之后,再减去末位数字的2倍,如果所得的差能被7整除,这个自然数就能被7整除。

道理是:一个自然数如果能被7整除,除到最后,那时的“被除数”一定是7的倍数,即71421283542495663之一。观察发现:去掉这些数的末位数字后,再减去末位数字的2倍,所得的差能被7整除。

如,14的末位数字是4,去掉4以后,新的末位数字是11减去428得-7,-7能被7整除。

再如,28的末位数字是8,去掉8以后,新的末位数字是22减去8216得-14,-14能被7整除。

再如,63的末位数字是3,去掉3以后,新的末位数字是66减去32600能被7整除。

至于7,本来就是7的位数,去掉7以后,新的末位数字是0,0减去7的2倍14得-14,-14当然能被7整除。

3、去头相加法一个自然数(至少有3),去掉它的首位数,把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

道理是:设首位数为a,其余的数为b,原数是10nab(n2),后来的数是(2a×10n2b),比原数减少(10nab)(2a×10n2b)10na2a×10n2(10n2×10n2)a,因为10n2×10n2n234、……时,分别等于989809800、……这些数都能被7整除,不影响原数对于7的整除性。

4、去头相减法一个自然数(至少有4),去掉它的首位数,把首位数从其余的数的前三位数中减去,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

道理是:设首位数为a,其余的数为b,原数是10nab(n3),后来的数是(ba×10n3),比原数减少(10nab)(ba×10n3)(10n10n3)a,因为(10n10n3)n345、……时,分别等于100110010100100、……这些数都能被7整除,不影响原数对于7的整除性。

5、两段相加法把一个自然数分成两段,末两位数为一段,其余的数为另一段。计算末两位数那段与其余的数那段的2倍之和。如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

道理是:设末两位数为a,其余的数为b,原数是100ba,后来的数是a2b,比原数减少(100ba)(a2b)98b98能被7整除,不影响原数对于7的整除性。

6、两段相减法把一个自然数分成两段,末三位数为一段,其余的数为另一段。计算末三位数那段与其余的数那段之差。如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

道理是:设末三位数为a,其余的数为b,原数就是1000ba,后来的数是ab,比原数减少(1000ba)(ab)1001b1001能被7整除,不影响原数对于7的整除性。

7、三位分节法一个自然数从个位向左数,3位一节(最后不足3位时也算一节),右起第一节减第二节、加第三节、减第四节、……照这样减加交错,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

道理是:设这个自然数(4节为例)的右起各节分别是abcd,原数是109d106c103ba,后来的数是abcd,比原数减少(109d106c103ba)(abcd)(1091)d(1061)c(1031)b。因为(1091)1000000001(1061)999999(1031)1001,这些数都能被7整除,不影响原数对于7的整除性。

8、两位分节法:一个自然数从个位向左,2位一节(最后不足2位时也算一节)逐节依次124124,……分别乘各节的数再相加,如果得数大于100,继续这样做,直到得数小于100如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

道理是:设这个自然数(4节为例)的右起各节分别是abcd,原数是106d104c102ba,后来的数是a2b4cd,比原数减少(106d104c102ba)(a2b4cd)(1061)d(1044)c(1022)b。因为(1061)999999(1044)9996(1022)98,这些数都能被7整除,不影响原数对于7的整除性。

9、逐位求和法一个自然数从个位向左,逐位依次132、-1、-3、-2132、-1、-3、-2、…分别乘各个数位上的数再相加,如果得数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

道理是:设这个自然数(7位为例)的右起各位数字分别是abcdefg,原数是106g105f104e103d102c10ba,后来的数是a3b2cd3e2fg,比原数减少(106g105f104e103d102c10ba)(a3b2cd3e2fg)(1061)g(1052)f(1043)e(1031)d(1022)c(103)b。因为(1061)999999(1052)100002(1043)10003(1031)1001(1022)98(103)7,这些数都能被7整除,不影响原数对于7的整除性。

10、减去倍数法:常见的7的倍数有714212835424956638491981001等。从一个自然数的任意数位上减去这些倍数,如果余数能被7整除,这个自然数就能被7整除。

道理很明显,就不需要解释了。

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