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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

循环小数的又一个奇妙性质  

2012-06-30 09:09:51|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面在“我和循环小数”一文中,谈到:

1/7可以化成循环小数,循环节是142857。这个循环节很奇怪,用23456去乘它,积不仅仍然由原来的6个数字组成,并且连排列顺序都不变,只是领头的数字不同而已:

142857×2285714

142857×3428571

142857×4572814

142857×5714285

142857×6857142

其实,当我把100以的内质数(除了25以外)的倒数,化成循环小数的时候,还遇到过不少类似情况:

比如,1/17化成循环小数,循环节是0588235294117647, 216去乘它,积仍然由原来的16个数字组成,并且排列顺序不变,只是领头的数字不同:

0588235294117647×21176470588235294

0588235294117647×31764705882352941

0588235294117647×42352941176470588

         ……

0588235294117647×158823529411764705

0588235294117647×169411764705882352

再比如,1/19化成循环小数,循环节是052631578947368421,用218去乘它,积仍然由原来的18个数字组成,并且排列顺序不变,只是领头的数字不同:

052631578947368421×2105263157894736842

052631578947368421×3157894736842105263

052631578947368421×4210526315789473684

          ……

052631578947368421×17894736842105263157

052631578947368421×18947368421052631578

再比如,1/23化成循环小数,循环节是0434782608695652173913,用222去乘它,积仍然由原来的22个数字组成,并且排列顺序不变,只是领头的数字不同:

0434782608695652173913×20869565217391304347826

0434782608695652173913×31304347826086956521739

0434782608695652173913×41739130434782608695652

            ……

0434782608695652173913×219130434782608695652173

0434782608695652173913×229565217391304347826086

细心的网友一定会发现:1/71/171/191/23这些分数,化成循环小数后,循环节的位数都比分母少1。这就是秘密所在。

事实上,当一个质数的倒数化成循环小数后,如果循环节的位数比分母少1,就会出现这种情况。

还有一个有趣的现象,当一个质数的倒数化成循环小数后,如果用分母去乘它的循环节,就会得到一连串9

比如上面所说的几个质数的倒数:

1/7的循环节是142857142857×7999999

1/17的循环节是05882352941176470588235294117647×179999999999999999

1/19的循环节是052631578947368421052631578947368421×19999999999999999999

1/23的循环节是04347826086956521739130434782608695652173913×239999999999999999999999

循环小数真是一个布满谜团的数学秘境,吸引着人们去探索,去欣赏。早先,在“循环小数与循环节”一文中,曾经谈到过循环节的一些奇妙性质,这篇文章,就算是对它的一点补充吧!

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