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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

从一道分数计算题引出的遐想  

2012-06-09 06:46:04|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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       有这样一道分数计算题:

      1/2+2/3+5/6=2

它的特殊之处在于,3个形如(m-1)/m(m为大于1的整数)的异分母分数的和,竟然会等于一个整数!这就使人产生一种遐想,是否存在:

4个这样的分数,它们的和等于3;

5个这样的分数,它们的和等于4;

6个这样的分数,它们的和等于5;

……

多年前,这个问题曾经困扰了我好长时间,后来,经过几番苦思冥想,还真让我给解决了。下面,把它奉献给感兴趣的网友。

就从“4个这样的分数,它们的和等于3”说起吧!

为了便于叙述,把要求的4个分数,按照从小到大的顺序,分别称为第1个分数、第2个分数、第3个分数、第4个分数。

取第1个分数为1/2,其余3个分数的和就是3-1/2=5/2;

取第2个分数为2/3,其余2个分数的和就是5/2-2/3=11/6。11/6=1+5/6,说明第3个分数应该大于5/6;

取第3个分数为6/7,11/6-6/7=41/42,正好是一个形如m/(m+1)的分数!

于是得到:

    1/2+2/3+6/7+41/42=3。

那么,是否存在“5个这样的分数,它们的和等于4”呢?

仍然用上面的思路:

取第1个分数为1/2;

取第2个分数为2/3,其余3个分数的和就是7/2-2/3=17/6。17/6=2+5/6,说明第3个分数应该大于5/6;

取第3个分数为6/7。17/6-6/7=83/42。83/42=1+41/42,说明第4个分数应该大于41/42;

取第4个分数为42/43。83/42-42/43=1805/1806,正好是一个形如m/(m+1)的分数!

于是得到:

    1/2+2/3+6/7+42/43+1805/1806=4。

两次成功绝非偶然,其中一定隐藏着某种规律。为了找到这个规律,把已经得到的解整理成下表:

       第1个分数 第2个分数 第3个分数 第4个分数 第5个分数

     n=3   1/2           2/3           5/6

  n=4      1/2           2/3           6/7        41/42

  n=5      1/2           2/3           6/7           42/43    1805/1806

 观察发现:

 (1)前一组解中,除了最后一个分数以外,其余各分数都保留在后一组解中;

 (2)前一组解的,最后一个分数的分子、分母同时加1,就得到后一组解的倒数第二个分数;

 (3)每一组解的,最后一个分数的分母,等于前一个分数的分子与分母的积,分子等于这个积减1。

规律找到了。让我们试试看,根据发现的规律,能不能求出“6个这样的分数,它们的和等于5”。

当n=6时:

(1)表中n=5时的前4个分数,1/2、2/3、6/7、42/43应该保留下来;

(2)第5个分数是(1805+1)/(1806+1)=1806/1807;

(3)第6个分数是(1806×1807-1)/(1806×1807)=3263441/3263442。

这6个分数的和是:

  1/2+2/3+6/7+42/43+1806/1807+3263441/3263442

 =(1631721+2175628+2797236+3187548+3261636+3263441)/3263442

 =16317210/3263442

 =5。

完全正确!

有了这个方法,不就可以解决后面的问题了吗?

想不到,从一道平平常常的分数计算题,竟然会引出这么个出人意料的结果。

好些年过去了,一想起这件事,还依然非常兴奋。其实,也许这个结果别人早就发现了,只是我不知道而已。不管怎么说,“孩子是自家的好”是吧?

当年,我曾经把上面的结果,投给《小学教学》杂志,竟然发表了。内容比这里说的稍微深入一点,丰富一点。有兴趣的网友,可以到我在“爱问··共享资料”网站建立的“我的资料”看看,题目是“从一道趣味数学题谈起”。

“我的资料”网址是:

  http://iask.sina.com.cn/u/1720610461/ish?folderid=0&page=0

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