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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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一道世界名题的奇妙解法(续)  

2013-02-16 08:06:43|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面在“一道世界名题的奇妙解法”一文中,曾经谈到剑桥大学怀德海教授,对那道“5个水手分椰子”的题目引入“负数”,得到一种异乎寻常的解法。最近,偶然翻阅我国著名数学家张景中教授,早年所写的《数学传奇》一书,书中对这道名题采用了另一种颇为独特的解法,更是令人大开眼界。

那道“5个水手分椰子”的题目是这样的:

5个水手带了1只猴子到了一个荒岛,那里有一大堆椰子。水手们到荒岛时已经很疲倦了,他们约定好第二天早上再分椰子,然后就都睡了。半夜里,第一个水手醒了,看看别人还都睡着,就把椰子平均分成5堆,自己藏起1堆,还剩下1个,把它丢给猴子,又睡了。不久,第二个水手醒了,看看别人还都睡着,就把椰子平均分成5堆,自己藏起1堆,还剩下1个,把它丢给猴子,又睡了。第三个、第四个、第五个水手也都是这样。天亮了,他们个个若无其事佯装不知,按照约定,把椰子平均分成5堆,每人拿了1堆,还剩下1个,把它丢给了猴子。试问:原来那堆椰子有多少个?”

张景中教授的解法是:

设:原来那堆椰子有x个。根据这堆椰子先后经过65等分,每次都多1个的特点,设想,如果再从别处“借来”4个椰子,使椰子数变成x4个,每次就都能被5整除了。这样一来,

第一个水手拿走x4个的1/5,比题中说的多1个,把多的这1个给猴子以后,就跟原来一样了。这时,剩下的椰子还有(x4)个的4/5

第二个水手拿走“(x4)个的4/5”的1/5,也比题中说的多1个,把多的这1个给猴子以后,剩下的椰子还有“(x4)个的4/5”的4/5,也就是(x4)个的4?/5?

依此类推……经过5个水手如法炮制以后,剩下的椰子还有(x4)个的45/55

天亮后,再次把剩下的椰子5等分,每份就是(x4)个的45/56。因为椰子的个数只能是整数,而4556质,x4就必须能被56整除,x4至少要等于56。而5615625,于是,x415625x15621,所以,原来那堆椰子至少有15621个。与怀德海教授得到的结果完全相同。

看到这儿你可能产生一个疑问:“借来”的那4个椰子怎么办?别着急,请往下看:

当最后一次5等分以后,每份都比题中说的多1个,一共多5个。先给猴子1个,再把剩下的4个“从哪儿借的还给哪儿”,不就圆满解决啦?

说到这儿,让人不能不对张景中教授佩服得五体投地,这个解法既妙不可言又天衣无缝,真不知道当初他是怎么想出来的!

怀德海教授别出心裁想到了“负数”,张景中教授独具慧眼看到了“借用”,都称得上是奇思妙想。还真应了那句老话:“戏法人人会变,各有奥妙不同”。看来,数学还真有点戏法的味道,这不恰恰就是数学的魅力所在吗?

话说回来,这道题当然可以用所谓的“正规”方法来解答,只是要用到“变换”和“递推”的数学思想。

设:这堆椰子有x个。

第一个水手给了猴子1个又隐藏了1/5以后,还剩(x1)个的4/5,也就是(x1)×4/5

先对(x1)×4/5进行一次“变换”,给它加上16/5,再减去16/5

(x1)×4/516/516/5

x×4/54/516/516/5

(x×4/516/5)(4/516/5)

(x×4/54×4/5)20/5

(x4)×4/54

于是,(x1)×4/5(x4)×4/54

按照“递推”的数学思想方法,对于第二个水手来说,第一个水手剩下的椰子数(x4)×4/54,就相当于原来的椰子数x。于是,把(x4)×4/54中的x换成(x4)×4/54,第二个水手照样做了以后,就还剩下:

[(x4)×4/544]×4/54    (下划线表示“变换”过程)

((x4)×4/5)×4/54

(x4)×42/524

依次“递推”下去,第五个水手照样做了以后,就还剩下(x4)×45/554。而要使x有最小的整数解,x4至少要等于555515625,于是,x15625415621

是不是由于数学味儿太浓了,不那么容易理解?

可见,还是张景中教授的解法浅显易懂,让人感到格外平实亲切,格外趣味盎然。

这道“5个水手分椰子”的题目,是一道世界名题,受到许多数学爱好者以至数学大家的青睐,有过不少美妙的解法。上面提到的三种,不妨分别称之为“怀德海解法”、“张景中解法”和“变换递推解法”。前面,在另一篇“两道世界名题”的文章中,还提到过一种“猜想验证解法”,有兴趣的网友可以从下面的链接了解到比较详细的情况。

 

链接1一道世界名题的奇妙解法

链接2两道世界名题

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