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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

裴波那契数列与勾股数的关系  

2013-03-18 10:30:18|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面,在“斐波纳契数列”“再谈斐波纳契数列”“斐波纳契数列与洛书”等几篇文章中,对斐波纳契数列的奇妙之处,已经谈了许多。如果说,斐波纳契数列和“勾股数”还有着非常密切的关系,你相信吗?

请看裴波那契数列:

1123581321345589144,…

5项是:11235。如果把第2项和第4项乘起来,把第3项乘2,把第1项和第5项乘起来,就得到345。这是多么眼熟的一组数啊!它不就是“勾三股四弦五”那组“勾股数”吗?324252,谁人不知谁人不晓!

再取它的第2项到第6项这5个数试试看:

5项是:12358。还像上面那样,把第2项和第4项乘起来,把第3项乘2,把第1项和第5项乘起来,得到10686282102,说明1068也是一组勾股数,不过叙述顺序不合适。只要把叙述顺序改成“把第1项和第5项乘起来,把第3项乘2,把第2项和第4项乘起来”,就行了。

再取它的第3项到第7项这5个数试试看:

5项是:235813。还原来那样,“把第2项和第4项乘起来,把第3项乘2,把第1项和第5项乘起来”,得到24、1026。242102262。说明24、1026是一组勾股数,叙述顺序不需要改变。

再取它的第4项到第8项这5个数试试看:

5项是:3581321。还照原来那样,“把第2项和第4项乘起来,把第3项乘2,把第1项和第5项乘起来”,得到651663。又出现第2项到第6项那种情况。再改成“把第1项和第5项乘起来,把第3项乘2,把第2项和第4项乘起来”试试,得到631665,果然632162652

总结以上经验,得出裴波那契数列与勾股数的关系:

从裴波那契数列中任意取5个连续的项:abcde

(1)如果a是数列的奇数项,那么,bd2cae就是一组勾股数:(bd)2(2c)2(ae)2

(2)如果a是数列的偶数项,那么,ae2cbd就是一组勾股数:(ae)2(2c)2(bd)2

让我们继续取58132134这几项试试看:

5是数列的第5,5是奇数,根据(1)bd2cae分别是8×211682×13265×341701682282242626761702289002822467628900,正确。

让我们跳一下,取21345589144这几项试试看:

21是数列的第8,8是偶数,根据(2)ae2cbd分别是21×14430242×5511034×8930263024291445761102121003026291566769144576121009156676,正确。

看来,裴波那契数列真是一个神秘莫测的宝藏,她究竟还隐藏着哪些奥秘,实在叫人摸不透,这不也正是她的迷人之处吗!

  相关链接:

  菲波纳契数列

  再谈斐波那契数列

  斐波那契数列与洛书

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