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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

小学数学思想方法 第一讲 从简单情况找规律  

2013-04-15 08:27:35|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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多年前,我选编了一份教学资料,内容涉及小学数学中常见的一些数学思想方法。这份资料比较适合小学高年级对数学有浓厚兴趣,并且学有余力的学生使用,也可供小学数学教师参考。下面就是这份材料,共11讲。为了不至于过份增加学生的负担,每次只给出一讲。有一点需要说明,受网文格式的限制,分数的写法只好变通一下。如,a分之b写作b/a;a、b之和分之c、d之差写作(c-d)/(a+b),依此类推,并且,假分数不再化成带分数。由此而带来阅读上的一些不便,请网友谅解。

讲  从简单情况找规律

  当一个问题非常复杂时,首先就要想到,其中是否隐藏着某种规律,如果能找到这种规律,问题就会迎刃而解。探索规律,往往要利用已有的知识和经验,从简单的、熟悉的地方开始,从粗略的估计开始,同时注意极端的情况,如最大、最小等。

  例1 2005个7连乘,积的个位数字是多少?

解:可以这样想,

7,个位数字是7;

7×7=49,积的个位数字是9;

7×7×7=343,积的个位数字是3;

7×7×7×7=2401,积的个位数字是1;

7×7×7×7×7=16807,积的个位数字是7。

  观察发现,随着因数的增加,积的个位数字按“7、9、3、1”四个数字循环。2005÷4余1,所以积的个位数字是7。

例2 按一定规律排列着一串数:

1/11/22/21/32/33/31/42/43/44/4,……,1/1002/1003/100,……,99/100100/100。这些数的总和是多少?

  解:可以这样想,把这串数按分母从小到大分成100组,分别求和。

第1组:1/11/1

第2组:1/22/2(1+2)/2

第3组:1/32/33/3[(1+3)×3÷2]/3(1+3)/2

第4组:1/42/43/44/4[(1+4)×4÷2]/4(1+4)/2

观察发现,如果把第1组的和写作(1+1)/2第n组的和就是(1+n)/2这串数共有100项,总和是

(1+1)/2(1+2)/2(1+3)/2(1+4)/2+…+(1+100)/21/2×100+(1+2+3++100)/2=50+[(1+100)×100÷2}/2=50+2525=2575。

想一想:分母为n的所有真分数的和是多少?(答案:(n-1)/2)

例3 现有如下一系列图形:

小学数学课外学习材料第一讲从简单情况找规律 - 老骥 - 周靖国的博客

        当n=1时,长方形ABCD分为2个直角三角形,总计数出5条边;

当n=2时,长方形ABCD分为8个直角三角形,总计数出16条边;

  当n=3时,长方形ABCD分为18个直角三角形,总计数出33条边;

  ……

  按如上规律请回答:当n=100时,长方形ABCD可以分为多少个直角三角形?总计数出多少条边?

  解:观察发现,长方形ABCD可以分为n2小长方形,每个小长方形可以分成2个直角三角形,即直角三角形的个数=2×n2。当n=100时,总共有2×1002=20000个直角三角形。

  边可以分为“横边”、“竖边”和“斜边”三种。观察发现,横边数=n(n+1);竖边数=n(n+1);斜边数=n2。即总边数=2n(n+1)+n2=3n2+2n=n(3n+2)。当n=100时,总共有100×(300+2)=30200条边。

    例4 有两个同样大小的杯子,甲杯盛满了纯水,乙杯盛着半杯含有10克盐的盐水。先用甲杯里的水倒满乙杯并搅匀,然后再用乙杯里的盐水倒满甲杯并搅匀,上述过程算是进行了一次操作。如果这样连续进行五次操作后,那么甲杯里含有多少克盐?

    解:可以用列表法。

       甲杯含盐()           乙杯含盐()

      原来     0                10

      第一次操作后 5                5

      第二次操作后  10-15/425/4         (5+5×1/2)×1/215/4

      第三次操作后  10-55/16105/16        (15/425/4×1/2)×1/255/16

      第四次操作后  10-215/64425/64       (55/16105/16×1/2)×1/2215/64

      第五次操作后  10-855/2561705/256     (215/64425/64×1/2)×1/2855/256

所以,第五次操作后甲杯里含盐1705/256克。

还可以这样想:每次操作后甲杯里的盐可以看作由两部分组成,一部分是甲杯里原来的盐,因为甲杯里原有的盐虽然倒给乙杯1/2,但是又从乙杯返还了1/2×1/21/4,所以这部分盐等于甲杯原有盐的1/21/2×1/23/4;另一部分是由乙杯倒来的盐,这部分盐等于乙杯原有的盐的1/2。因为乙杯原有的盐=盐的总量10克-甲杯原有含盐量,于是每次操作后甲杯里的含盐量=甲杯原有含盐量×3/4(10克-甲杯原有含盐量)×1/2=甲杯原有含盐量×(3/41/2)+10克×1/2=甲杯原有含盐量×1/4+5克。所以

第一次操作后甲杯含盐0×1/4+5=5克;

第二次操作后甲杯含盐5×1/4+5=25/4克;

第三次操作后甲杯含盐25/4×1/4+5=105/16克;

第四次操作后甲杯含盐105/16×1/4+5=425/64克;

第五次操作后甲杯含盐425/64×1/4+5=1705/256克。

想一想:如果增加操作次数,会出现什么情况?(答案:两杯盐水的浓度趋于相同,甲杯含盐以10×2/320/3克为极限。)

  例5 1×1+2×2+…+2004×2004+2005×2005的个位数字是几?

解:可以这样想,每10个连续平方数的和,个位数字是1+4+9+6+5+6+9+4+1的个位数字,是5,从而原式的个位数字与5×200+1×1+2×2+3×3+4×4+5×5的个位数字相同,是5。

还可以这样想,根据自然数平方和公式S=1/6×n(n+1)(2n+1)1/6×2005×2006×4011,约分后可判断得数的个位数是5。

例6 下图的数阵是由77个偶数排成的,

小学数学课外学习材料第一讲从简单情况找规律 - 老骥 - 周靖国的博客

    其中202224363840这六个数由一个平行四边形围住,它们的和是180。把这个平行四边形沿上下、左右平移后,又围住了数阵中的另外六个数,如果这六个数的和是660,那么它们当中位于平行四边形左上角的数是多少?

解:可以这样想,移动前平行四边形内6个数的和是180,移动后6个数的和增加到660,由于移动过程中每个数增加得同样多,每个数都增加了(660-180)÷6=80,所以,左上角的数增加到20+80=100。

还可以这样想,平行四边形内最小的数比平均数少10,所以要求的数是660÷6-10=100。

例7 长方形内共有2005个点,连同长方形的4个顶点在内,共有2009个点。在这2009个点中,任意3个点都不在同一条直线上。以这2009个点为顶点,可作出多少个互不重叠的三角形?

解:画画试试很快发现,当长方形内加上第一个点以后,会形成4个三角形,此后,每增加1个点,就会增加2个三角形。所以,长方形内的2005个点,总共可以形成4+2×(2005-1)=4012个三角形。

想一想:总共形成多少个三角形?(答案:(2009×2008×2007)/(3×2×1)=1349397084个。)

例8 将100以内的质数从小到大排成一个数字串,依次完成以下5项工作叫一次操作: 

(1)将左边第一个数码移到数字串的最右边;

(2)从左到右两位一节组成若干个两位数;

(3)划去这些两位数中的合数;

(4)所剩的两位质数中有相同者,保留左边的一个,其余划去;

(5)所余的两位质数保留数码次序又组成一个新的数字串。

问:经过2005次操作,所得的数字串是什么?

解:可以这样想,排成的数字串是

2357111317192329313741434753596167717379838997

第1次操作得到数字串711131131737;

第2次操作得到数字串11133173;

第3次操作得到数字串111731;

第4次操作得到数字串1173;

第5次操作得到数字串1731;

第6次操作得到数字串7311;

第7次操作得到数字串3117;

第8次操作得到数字串1173;

观察发现,第8次与第4次所得数字串相同,可见,从第4次开始出现以4次为周期的循环。(2005-3)÷4余2,所以,经过2005次操作,所得的数字串与第5次相同,是1731。

  练习

  1.把2005/13化成小数后,这个小数的小数部分第2005位上的数字是几?

  2.有一串数排成一行,其中第一个数是15,第二个数是40,从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和。那么在这串数中,第2005个数被3除所得的余数是多少?

  3.有一串数:149162536,…,它们是按一定规律排列的,那么其中第2004个数与第2005个数相差多少?

4.如果1=1!

1×2=2!

1×2×3=3!

…… 

1×2×3×…×99×100=100!

  那么1!+2!+3!+…+100!的个位数字是几?

  5.有一列数:124711162229,…。这列数左起第2005个数除以5的余数是多少?

6.2005年的春节(2月9日)是星期三,再过20022005天是星期几?

7.有一串数:1382260164448,…,其中第一个数是1,第二个数是3,从第三个数起,每个数恰好是前两个数之和的2倍。那么在这串数中,第2005个数除以9的余数是多少?

8.把自然数中奇数:135,7,…依次排成5列(如下面所示),把最左边的一列叫第一列,从左到右依次编号:

  第1列   第2列   第3列   第4列   第5列

         1     3     5     7

     15        13        11         9

               17        19        21        23

     31        29        27        25

     ┆        ┆        ┆        ┆        ┆

这样,数2005出现在第几列?

9.紧接着1989后面写一串数字,写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。例如8×9=72,在9后面写2;……得到一串数字:1989286,…这串数字从1开始向右数,第2005个数字是几?

10.在一张足够长的纸条上从左向右依次写上1~2005这2005个自然数,然后从左到右每隔三位点一个逗号:123456789101112,…。第100个逗号前的那个数字是几?

11.在一串分数:1/11/22/21/21/32/33/32/31/31/42/43/44/43/42/41/4…中,

(1)7/10是第几个分数?

(2)第400个分数是几分之几?

12.将一个长40厘米、宽1厘米的长方形纸连续对折3次,得到宽不变的较短的长方形,然后从它的一端开始,每隔1厘米剪一刀,最后,可得到边长为1厘米的小正方形多少块,长2厘米、宽1厘米的小长方形多少块?

13.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于50个小纸片,至少要画多少条直线?

14.A、B、C、D四个盒子中依次放有6453个球。第一个小朋友找到放球最少的盒子,从其它盒子中各取一个球放入这个盒子;然后第二个小朋友找到放球最少的盒子,从其它盒子中各取一个球放入这个盒子,如此进行下去。当34位小朋友放完后,B盒子中有多少个球?

15.一张面积为 1 的正三角形白纸,按下述规则涂色:每次把正三角形分成 4 个全等的小正三角形,再将中间的小正三角形涂成黑色。经过四次涂色后,白色部分的面积是多少?

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16.下图中有六个正方形,较小的正方形都由较大的正方形的四边中点

连接而成。已知最大的正方形的边长为10厘米,那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米?

小学数学课外学习材料第一讲从简单情况找规律 - 老骥 - 周靖国的博客

    答案

  12。    20。    34009。    43。    51。    6星期三。  77。  8第4列。  96。  106。    11、(1)第88个和第94个。(2)1/20。    12小正方形26块,小长方形7块。  1310条。    146个。    1581/256。  1625/8平方厘米。

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