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小学数学思想方法 第九讲 辅助量与等量代换  

2013-04-27 11:56:30|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学思想方法

第九讲  辅助量与等量代换

在解题时,有时需要设一个或几个辅助量以便于理清数量关系,就像解图形问题时添加辅助线那样,这种思考方法叫做辅助量法。

例1 如图,长方形面积为35平方厘米,左下角直角三角形的面积为5平方厘米,右上角直角三角形的面积为7平方厘米,那么中间三角形(阴影部分)的面积是多少平方厘米?

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解:设长方形的长和宽分别是a和b,那么,右下角三角形的底就是a的1-(5×2)/35=5/7,高就是b的1-(7×2)/35=3/5,面积是1/2×(5/7a×3/5b)=3/14ab=3/14×35=7.5(平方厘米)。所以,中间三角形的面积是35-5-7-7.5=15.5(平方厘米)。

例2 图中有9个方格,要求每个方格中填入不同的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。问:图中左上角的数是多少?

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解:如图,设相应方格中的数为x1,x2,x3,x4

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于是,?+x1+x2=?+x3+x4=x1+x3+13=x2+19+x4,从而前两个式子的和等于后两个式子的和,即2×?+x1+x2+x3+x4=13+19+x1+x2+x3+x4。所以2×?=13+19=32?=16。

  例3 甲班有42名学生,乙班有48名学生。已知在某次数学考试中按百分制评卷,评卷结果各班的总成绩相同,各班的平均成绩都是整数并且都高于80分。那么甲班的平均成绩比乙班高多少分?

  解:设甲班的平均成绩为a,乙班的平均成绩为b,于是42a=48b,即7a=8b。从而b是7的倍数,因为80<b≤100,所以b=84、91、98。试算发现,当b=91时,a=91×8÷7>100,所以b=84,a=84×8÷7=96。

  例4 一个自然数除以19余9,除以23余7。那么这个自然数最小是多少?

解:设这个自然数是23a+7,因为它除以19余9,所以23a+7-9=23a-2能被19整除,而23a-2=19a+(4a-2),因此4a-2能被19整除。取a=1,2,3,…代入检验,当a=10时,4a-2=38,第一次能被19整除,所以这个自然数最小是23×10+7=237。

用一个与已知量相等的量代替已知量,使问题经过转化而最终得以解决,这种思考方法叫做等量代换。

例5 在三角形ABC中,D、E是BC边上的点,BD=AB,CE=CA,∠DAE=1/3∠BAC,求∠BAC的度数。

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    解:设∠BAE、∠EAD、∠DAC分别为α、β、γ,则β=1/3(α+β+γ),即2β=α+γ(式①)。由AB=BD,得α+β=∠BDA=γ+∠C(式②;由CE=AC,得β+γ=∠CEA=α+∠B(③式)。由②+③,得α+γ+2β=α+γ+∠B+∠C,两边加上β,得α+γ+3β=∠B+∠C+∠BAC=180°。再由①,得5β=180°,所以β=36°。于是,∠BAC=3β=108°

例6 图中,AD=1/4AC,三角形CDE的面积是三角形ABC的一半。问:BE的长是BC的几分之几?

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    解:连BD,由于AD=1/4AC,所以S△ADB=1/4S△ABC,S△BCD=S△ABC+S△ADB=5/4S△ABC,而S△BCD=S△CDE+S△BDE已知S△CDES△ABC,所以S△BDE=S△BCD-S△CDE=5/4S△ABC-1/2S△ABC=3/4S△ABC,从而CE/EB=S△CDE/S△BDE=1/2÷3/4=2/3,于是,BE/BC=3/5。

  例7 图中的五角星∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的和是多少度?

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  解:如图,

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   因为∠2+∠5=∠7,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠1+∠3+∠4+∠7,而∠3+∠7=∠6,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠1+∠4+∠6=180°

例8 梯形ABCD的中位线EF长15厘米(如图),∠ABC=∠AEF=90°,G是EF上的一点。如果三角形ABG的面积是梯形ABCD的面积是1/5,那么EG的长度是多少厘米?

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    解:梯形ABCD的面积等于EF×AB,而三角形ABG的面积等于1/2EG×AB,因此三角形ABG和梯形ABCD的面积比等于1/2EG与EF的比。因为三角形ABG的面积是梯形ABCD的面积的1/5,即1/2EG∶EF=1∶5,所以EG∶EF=2∶5,于是EG=15×2/5=6(厘米)。

    练习

1动物园的饲养员给三群猴子分花生。如只分给第一群,则每只猴子可得12粒;如只分给第二群,则每只猴子可得15粒;如只分给第三群,则每只猴子可得20粒。那么平均分给三群猴子,每只猴子可得多少粒?

2一个长方形(如图),被两条直线分成四个长方形,其中三个的面积分别是20亩、25亩、30亩。问:另一个(图中阴影部分)长方形的面积是多少亩?

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3下图是一个400米的跑道,两头是两个半圆,每个半圆的弧长是100米,中间是一个长方形,长为100米,那么两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比是多少?

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  4某班在一次数学考试中,平均成绩是78分,男、女生各自的平均成绩是75.5分、81分。问:这个班男、女生人数的比是多少?

  5小明爷爷的年龄是一个两位数,将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄,又知道他们的年龄差是小明年龄的4倍,求小明的年龄。

  6在一个三角形中,第一个内角的度数是第二个内角度数的3倍;第三个内角的度数是第二个内角度数的二分之一,那么第一个内角是多少度?

  7如图,甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形EFGH,中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32平方厘米,四边形ABCD的面积是20平方厘米。求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和是多少厘米?

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  8某次考试,张、王、李、陈四人的成绩统计如下:张、王、李平均91分;王、李、陈平均89分;张、陈平均95分。那么张得了多少分?

  9如图,甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米,那么a长多少厘米?

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  10下图中,∠1、∠2、∠3、∠4的和是多少度?
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  答案

  15粒。  237.5亩。  31∶3。  46∶5。  59岁。

  6120°  748厘米。  898分。  91厘米。  10403°

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