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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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小学数学思想方法 第三讲 倒过来想和从问题的反面考虑  

2013-04-24 11:06:01|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学思想方法

讲  倒过来想和从问题的反面考虑

  分析问题的方式多种多样,可以从条件出发,也可以从问题出发,即倒过来想;可以从问题的正面考虑,也可以从问题的反面考虑。

例1 有一个分数,将它的分母加上2,得到7/9;如果将它的分母加上3,就得到3/4。原来分数是多少?

解:显然这两个分数是经过约分的,在未约分以前分子应该相等把这两个分数化成分子相同的分数:7/921/27,3/421/28所以原来分数的分子21,分母是27-2=25(或者28-3=25),原来的分数是21/25

  例2 甲、乙、丙三堆棋子共98枚。先从甲堆取出一些棋子给另外两堆,使另外两堆的棋子数各增加一倍乙堆取出一些棋子分另外两堆,使另外两堆的棋子数各增加一倍最后丙堆取出一些棋子分另外两堆,使另外两堆的棋子数各增加一倍结果甲堆棋子数是丙堆的4/5,乙堆棋子数是丙堆的22/15。求三堆棋子中原来棋子最多一堆有多少枚

    解:可以倒过来想:

(1)最后是把丙堆的棋子数看作“1”,所以丙堆有98÷(4/5+22/15+1)=30(),甲堆有30×4/5=24(),乙堆有30×22/15=44(枚)。

(2)丙堆没有给甲、乙两堆之前,甲堆有24÷2=12(枚),乙堆有44÷2=22(枚),丙堆有30+12+22=64(枚)

(3)乙堆没有给甲、丙两堆之前,甲堆有12÷2=6(枚),丙堆有64÷2=32(枚),乙堆有22+6+32=60(枚)。

(4)甲堆没有给乙、丙两堆之前,乙堆有60÷2=30(枚),丙堆有32÷2=16(枚),甲堆有6+30+16=52(枚)。原来甲堆的棋子最多,有52

例3 一个正方形(如图),被分成四个长方形,面积分别是1/10平方米、1/5平方米、3/10平方米、2/5平方米。图中阴影部分是一个正方形,并且是面积为2/5平方米的长方形的一部分,那么,阴影部分的面积是多少平方米?

小学数学课外学习材料 第三讲 倒过来想和从问题的反面考虑 - 老骥 - 周靖国的博客

    解:要知道阴影正方形的面积,就要知道它的边长,而这个边长可以看成是面积为1/5平方米的长方形的长,减去面积为3/10平方米的长方形的宽所得的差。因为下面两个长方形有相同的宽,所以这两个长方形的长的比是1/51/10=2∶1,于是面积为1/5平方米的长方形的长,等于原来正方形的边长2/3。同理,上面两个长方形的宽的比等于3/102/5=3∶4,于是面积为3/10平方米的长方形的宽,等于原来正方形的边长3/7

原来正方形的面积是3/102/51/51/10=1(平方米),边长是1米,因此,阴影正方形的边长是1×2/3-1×3/75/21(),面积是5/21×5/2125/441(平方米)

  例4 从1到2005这2005个自然数中,有多少个数与5678相加时,至少发生一次进位?

  解:可以从问题的反面想:先考虑从1到1999这1999个数中,与5678相加时,一次进位也没有发生过的数有多少个。这些数的个位上只能是0、1;十位上只能是0、1、2;百位上只能是0、1、2、3;千位上只能是0、1。总共有2×3×4×2=48(个)其中包括“0000”这个数,实际只有47个。所以在与5678相加时,至少发生一次进位的数共有1999-47=1952()。在2000到2005这6个数中,与5678相加时,发生进位的数有2002、2003、2004、2005共4个,所以从1到2005这2005个自然数中,与5678相加时,至少发生一次进位的数共有1952+4=1956()

  例5 有一个算式:1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+…+1×2×3×…×8×9。

  这个算式的得数能否是某个数的平方?

  解:题目既然提出了有关平方数的问题,那就先想想平方数有什么特点,于是想到平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9(想想看为什么?)这个算式前4项的得数是1+2+6+24=33,33的个位数是3,而后面各项得数的个位数都是0,(想想看又是为什么?)所以算式得数的个位数是3,不符合平方数的特点,因此算式的得数不可能是某个数的平方。

  例6 黑色、黄色、白色的筷子各有8根,混杂地放在一起,黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求?

  解:从最不利的情况考虑,可能取了8根都是同一种颜色,只能说取出了一双同一种颜色的筷子这时剩下另外两种颜色的筷子,当再取3根时,总会取出2根颜色相同的筷子所以,至少要取8+3=11()才能保证达到要求。

  例7 一次测验共有10道问答题,每题的评分标准是:回答完全正确,得5分;回答不完全正确得3分;回答完全错误或不回答,得0分。共有300人参加测验,至少有多少人的分数相同?

  解:根据评分标准可知,得分最少为0分,最多为50分在0分到50分这51个分数中,得分只能是若干个5分与若干个3分的和。试算发现,1分、2分、4分、7分、47分、49分6个分数不可能出现,所以实际上只51-6=45种得分。而人数是300,300÷45630,说明得分情况即使分散到每个分数都有6人,仍然还有30人的得分在这个范围,这30人的得分再无论怎样不同,也至少有1人与前面某6人的分数相同,这就是说至少有7人的分相同。

例8 能否在8行8列的方格表(如图)的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数中的任一个数,使得每行、每列及对角线AC、BD上各个数的和互不相同?

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 解:因为8行、82条对角线上的数分别相加,一共可以算出8+8+2=18个和,可是每行、每列、每条对角线上8个数的和最小是88,最大是824从8到2424-8+1=17个数,所以至少有1个和要出现2次,因而做不到每行、每列及对角线上各个数的和互不相同

    练习

  1.12加上24,减20,再加上24,再减20,如此下去,要经过多少次运算才能得100?

  2.A、B、C三个油桶各盛油若干千克。第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶,使B、C两桶内的油增加1倍;第二次从B桶把油倒入C、A两桶,使C、A两桶内的油增加1倍;第三次从C桶把油倒入A、B两桶,使A、B两桶内的油增加1倍。这时三桶油都16千克。问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克?

  3.有11个连续的自然数,第10个数是第2个数的13/9倍,那么这11个数的和是多少?

  4.将八个数从左到右排成一行,从第3个数开始,每个数都恰好等于前面两个数的和。如果第7个数和第8个数分别是81和131,那么第1个数是多少?

  5.在1~1999这1999个数中,有多少个数与4567相加时,至少有一个数位上发生过进位?

  6.在100以内与77互质的所有奇数的和是多少?

  7.志强小学国庆节举办三项游艺活动,每个学生可以参加一项或两项。四一班有50名学生,至少有多少个学生参加的活动项目是相同的?

8.布袋里有5种不同颜色的球,每种都有20个,最少取出多少个,才能保证其中一定有3个颜色相同的球?

  9.从1、2、3、…99、100中,至少取出多少个不同的数,才能保证其中一定有一个数能被5整除?

10.现在有64个乒乓球、18个乒乓球盒,每个盒子最多可以放6个乒乓球,如果把这些乒乓球全部装入盒内,不许有空盒,那么至少有多少个乒乓球盒里的乒乓球数目相同?

    答案

133次。  2A桶26千克,B桶14千克,C桶8千克。  3242。

45。 51880个。 61959。 79个。 811个。 981个。

10.4个。

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