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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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小学数学思想方法 第四讲 分类和对应  

2013-04-26 10:20:22|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学思想方法

讲  分类和对应

    分类就是把需要解决的数学问题,按照一定标准分成几部分(即几类),然后通过对这几部分问题的解答,得到原问题的解答。

  分类时要注意:

1.分类要有明确的标准,并且分类后所形成的问题要比原问题简单;

  2.要确保分类的完整性和互斥性,即要做到既不遗漏也不重复;

3.分类时要始终按照所确定的分类标准进行。

  例1 1~1999这1999个自然数,所有数的数字和是多少?

  解:为了分组的方便,添上一个数0,并不会改变所有数的数字和。这样就可以把0~1999这2000个自然数分成0~999、1000~1999两组,每组都是1000个数

  (1)0~999组:依次把首尾两个数分成一组,即分成(0,999)(1,998)(2,997)、……、(499,500)共500组,每组两个数的数字和都是27,因此,这一组所有的数的数字和是27×500=13500。

  (2)1000~1999组:与上一组相比,只是在千位上多了1000个1,所以,这一组所有的数的数字和是13500+1000=14500。

因此,1~1999所有的数的数字和是13500+14500=28000。

还可以这样想:仍然先添上一个数0,从0到19992000个数,再按数位分组。

  (1)个位:每10个数一组,每组数的个位数字的和都是0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,一共是45×(2000÷10)=9000;

  (2)十位:每100个数一组,每组数的十位数字的和都是0×10+1×10+2×10+3×10+…+9×10=450,共450×(2000÷100)=9000;

  (3)百位:每1000个数一组,每组数的百位数字的和都是0×100+1×100+2×100+3×100+…+9×100=4500,共4500×(2000÷1000)=9000;

  (4)千位:数字和是1×1000=1000。

  所以1~1999所有的数的数字和是9000+9000+9000+1000=28000。

  例2 有黑白两种棋子共300枚,按每堆3枚分成100堆。其中只有1枚白子的共27堆;有2枚或3枚黑子的共42堆;有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等。那么在全部棋子中,白子共有多少枚?

 解:按所含白子的情况,可以把这100堆棋子分成四类:没有白子的、只有1枚白子的、只有2枚白子的、3枚都是白子的。

 根据已知条件:

  (1)“只有1枚白子的共27堆”,共有白子27枚

  (2)“有2枚或3枚黑子的共42堆”,等于说“有1枚白子的和有白子的共有42堆”,所以,有白子的有42-27=15()

  (3)“有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等”,等于说有3枚白子的与有白子的堆数相等,所以有3枚白子的也是15堆,共有白子3×15=45(枚)

  (4)还剩下100-27-15-15=43(),就是只有2枚白子的,共有白子2×43=86(枚)

  所以共有白子27+45+86=158()

例3 数一数,图中共有多少条线段?

小学数学课外学习材料 第四讲 分类和对应 - 老骥 - 周靖国的博客

    解:按照所形成的线段的多少分类

  (1)AB、AG各有2个分点,各形成6条线段(以AB为例,分别是AE、ED、DB、AD、EB、AB),形成6×2=12()线段

  (2)AC、BC、CD、EF各有1个分点,各形成3条线段(以AC为例,分别是AF、FC、AC),共形成3×4=12()线段

  所以图中总共有12+12=24()线段

    例4 正方体8个顶点,12个的中点,6个面的中心1个正方体的中心上面所说的这些点中可以作多少条直线?

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    解:按所通过的点的特点分类

(1)连接任意两个顶点的直线,一定还通过棱的中点,或者面的中心点,或者正方体的中心点。连接8个顶点中的任意1个顶点和另外7个顶点,一共可以得到8×7=56(条)直线,但是每个顶点都算了2次,所以实际只有56÷2=28()

(2)连接任意两个相对的棱的中心点的直线,一定还通过面的中心点或者正方体的中心点。一共有12条棱,和每条棱相对的棱有3条(在同一个面上的有2条,不在同一个面上的有1条),一共可以得到12×3=36(条)直线,但是每条棱都算了2次,所以实际只有36÷2=18()

(3)连接任意两个相对的面的中心点,一定还通过正方体的中心点。这样的直线有3条;

  总共有28+18+3=49()

  对应是一种应用非常普遍的数学思想方法,如“式”与“数”的对应,“量”与“率”的对应等等。这里主要讲一下比较少见另一种对应——“定义新运算”。

  例5 设a*b表示a的3倍减去b的2倍,即a*b=3a-2b。例如,当a=6,b=5时,6*5=3×6-2×5=8。

  (1)计算:(5/3*4/5)*3/4

  (2)已知:x*(4*1)=7,求:x。

解:

(1)5/3*4/55/3×3-4/5×2=17/517/5*3/417/5×3-3/4×2=87/10

(2)4*1=4×3-1×2=10,x*10=7,即3x-10×2=7,所以x=(10×2+7)÷3,x=9。

例6 对于任意的整数x与y定义新运算“△”:

 x△y=6xy/(mx+2y)(其中m是一个确定的整数)如果1△2=2,那么2△9=?

  解:已知1△2=2,根据定义得1△2=(6×1×2)/(m×1+2×2)12/(m+4)=2,于是有2×(m+4)=12,解出m=2。所以,2△9=(6×2×9)/(2×2+2×9)54/11

  例7 羊和狼在一起时,狼要吃掉羊。所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示:

  羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼,狼△狼=狼

  以上运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊一起便只剩下狼了。

  小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们定义另一种运算,用符号☆表示:

  羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼

  这个运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了。

  对羊或狼,可以用上面的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算。运算的结果或是羊,或是狼。

  求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)

  解:先看最后面的括号,因为狼△狼=狼,所以,原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼,无论前面如何,最后一步羊△狼或狼△狼总等于狼,所以原式=狼。

  例8 小明来到红毛族探险,看到下面几个红毛族的算式:

  8×8=8, 9×9×9=5, 9×3=3,(93+8)×7=837。

  老师告诉他,红毛族算式中所用的符号“+、-、×、÷、( )、=”与我们算术中的意义相同,进位也是十进制,只是每个数字虽然与我们写法相同,但代表的数却不同。

  请你按红毛族的算式规则,计算出89×57=?

  解:由9×9×9=5推知“9”是2,“5”是8。由9×3=3推知“3”是0。进而推知“8”是1,“7”是5。所以“89×57”是12×85,12×85=1020,即“89×57=8393”。

    练习

  1.在所有的两位数中,十位数字比个位数字大的两位数有多少个?

  2.从1985到4891的整数中,十位数字与个位数字相同的有多少个?

  3.下图是由19个棱长都是2厘米的立方体垒成的,求这个立体图形的表面积。

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        4.用三根等长的火柴可以摆成一个等边三角形。用这样的等边三角形如图所示,拼合成一个大的等边三角形。如果这个大的等边三角形的底为20根火柴长,那么一共要用多少根火柴?

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 5.图中(单位:厘米)共有多少个长方形?所有这些长方形的面积的和是多少?

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    6.设a△b=a×a-2b,那么,(1)5△6=?(2)(5△2)△3=?

  7.a*b表示a的3倍减去b的1/2。例如1*2=1×3-2×1/2=2。根据以上的规定,10*6=?

  8.规定:

  ③=2×3×4;④=3×4×5;⑤=4×5×6;……;⑩=9×10×11;……

  如果1/⑦1/⑧1/⑧×□,那么方框里应填的数是多少?

9.表一、表二是按同一规律排列的两个方格数表,那么表二空白方格中应填的数是多少?

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    10.左下图是一个运算器的示意图,A、B是输入的两个数据,C是输出的结果。右下表是输入A、B数据后,运算器输出C的对应值。请你据此判断,当输入A值是1999,输入B值是9时,运算器输出的C值是多少?

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  答案

  1.45个。  2.291个。  3.216平方厘米。  4.630根。

  5.共有100个长方形,面积的和是12384平方厘米。

  6.(1)13;(2)435。  7.27。  8.1/2。  9.3。   10.1。

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