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周靖国的博客

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小学数学思想方法 第五讲 类比和转化  

2013-04-27 11:52:45|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学思想方法

讲  类比和转化

  当一个比较陌生或复杂的问题与一个比较熟悉或简单的问题之间具有某种相似性的时候,可以把解决前者所用的方法加以推广应用到后者,这种思想方法叫做类比。类比是一种非常有用的思想方法,不过因为任何两个相似的对象之间总会有一定的差异,不恰当的类比也可能产生错误,因此在使用类比方法时要注意避免发生这种情况。

    例1 如图,一个正方形可以分成4个小正方形。能否把一个正方形分成6个、7个、8个,以至更多的小正方形(大小不一定相同)

小学数学课外学习材料 第五讲 类比和转化 - 老骥 - 周靖国的博客

解:用类比的方法容易想到,可以先把一个正方形分成9个小正方形,再反其道而行之,把其中4个小正方形合并成1个较大的正方形,就能得到6个正方形(图1)。进而想到分成7个小正方形的方法(图2)。再与分成6个正方形的方法类比,就能想到分成8个小正方形的方法(图3)。要得到10个小正方形,只要先分成7个小正方形,再把其中的1个小正方形分成4个更小的正方形就可以了。照这样,分成再多的小正方形都是可以做到的。

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    例2 一段楼梯有10个台阶,如果规定每一步只能登上一个或两个台阶,那么,要登上第10个台阶,有多少种不同的走法?

  解:从最简单的情况入手:根据已知条件,登上第1个台阶只有1种走法登上第2个台阶就有2种走法。登上第3个台阶,既可以从第2个台阶向上一步登一个台阶,也可以从第1个台阶向上一步登两个台阶。登上第4个台阶,既可以从第3个台阶向上一步登一个台阶,也可以从第2个台阶向上一步登两个台阶。由此得到一种带有普遍性的走法:登上第n个台阶的走法an等于登上第n-1个台阶的走法an-1和登上第n-2个台阶的走法an-2的和,即an=an-1+an-2。由于a1=1,a2=2所以,登上各个台阶的走法数依次为

        1, 2,3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89。

于是登上第10个台阶有89种不同的走法。

    这里所使用的方法也叫递推”,就是一步一步推下去的意思,著名的菲波那契数列就是用这种方法得到的

  例3 用两个点把一个圆周分成两段半圆弧,在这两个分点上写上1;然后把两段半圆弧二等分,在两个分点上写上相邻两点上的数的和;再把4段圆弧二等分,在分点上写上相邻两点上的数的和。如此继续下去,问第6步操作后,圆周上所有点上的数的和是多少?

  解:按照题目所说的,一边画、一边计算、一边思考,得到:每次操作后,因为所增加的每个数都是原来相邻两个数的和,在求和时原来的每个数都用了两次,所以每次增加的数的和,等于这次操作前圆周上所有的数的和的2倍,也就是说,每操作一次,圆周上所有的数的和等于这次操作前圆周上所有的数的和的3倍。如果把第n次操作后圆周上所有的数的和记作an,把这次操作前圆周上所有的数的和记作an-1,就得到an=3an-1。所以a6=a1×3×3×3×3×3,因为a1=2,于是a6=2×3×3×3×3×3=486。

  例4 用对角线把正六边形剖分成三角形(这些三角形的顶点是正六边形的顶点),共有多少种不同的方法? 

解:为了找到规律,可以从四边形、五边形入手,再推进到六边形 

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(1)四边形。对角线A1A3把四边形分为2个三角形,对角线A2A4把四边形分为另外2个三角形,所以把四边形分成三角形的方法共有2

(2)五边形。对角线A1A3把五边形分1个三角形和1个四边形,而四边形分成三角形的方法有2种,于是把五边形分成三角形的方法也有2种;同理,对角线A1A4把五边形分成三角形的方法也有2种;对角线A1A3和A1A4并用,也可以把五边形分成三角形。所以把五边形分成三角形的方法共有2+21=5

(3)六边形。对角线A1A3把六边形分1个三角形和1个五边形,而五边形分成三角形的方法有5种,于是把六边形分成三角形的方法也有5种;同理,对角线A1A5六边形分成三角形的方法也有5种;对角线A1A4把六边形分成2个四边形,每个四边形分成三角形的分法有2,于是把六边形分成三角形的方法有2+2=4种。所以把正六边形分成三角形的方法共有5+5+4=14种。

  通常,当我们要处理一个陌生的或复杂的问题时,总是先设法把它变成比较熟悉的或者比较简单的问题,这种数学思想方法叫做转化。转化是一种最常用的数学思想方法。

  例5 四十一位数55…5□99…9(其中5和9各有20个),能被7整除,那么,方格内的数字是几?

  解:先从能被7整除的连续几个5和连续几个9入手。试算发现555555÷7=79365, 999999÷7=142857,而555555、999999都是6位数。20÷6余2,所以,问题转化为“55□99能被7整除,方格内的数字是几?”55□99先减去一个能被7整除的整千数490006099,再从6099里减去一个能被7整除的两位数98得6□01,再从6□01里减去一个被7整除的数1001得5□00,显然方格内的数字应该是6。

  例6 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作,工人的工作效率相同,甲工地的工作量是乙工地的3/2倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍,下午这批工人中有7/12的人去甲工地,其余工人乙工地。到傍晚下班时,甲工地的工作已做完,乙工地的工作还需4名工人再做1天,那么这批工人有多少人?

  解:根据对应的思想方法,要求出这批工人有多少人,必须知道4人相当于这批工人的几分之几。下面就按照这个思路进行必要的转化:

(1)“上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍”,转化为“上午去甲工地的人数占总人数的3/4,去乙工地的占总人数的1/4”;

  (2)从“下午这批工人中有7/12的人去甲工地”,得出“下午去乙工地的占总人数的5/12”;

(3)“到傍晚下班时,甲工地的工作已做完”,转化为“如果半天完成工作,甲工地需要总人数的3/47/124/3”。

(4)根据“甲工地的工作量是乙工地的3/2倍”,得出“如果半天完成工作,乙工地需要总人数的4/3÷3/28/9”,进而得出“还缺总人数的8/91/45/128/36”;

(5)“乙工地的工作还需4名工人再做1天”转化为“乙工地的工作还需4×2=8()干半天”;

(6)“如果半天完成工作,乙工地需要总人数的8/9”,“乙工地的工作还需8()干半天”对应,所以这批工人有8÷8/36=36()

  例7 图(a)是一个直径3厘米的半圆,AB是直径。让A点不动,把整个半圆逆时针转60°角,此时B点移动到B点,见图(b),那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?

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  解:阴影部分的面积,等于全部图形的面积减去直径为AB的半圆的面积,全部图形的面积等于直径为AB的半圆半径为3厘米的圆的1/6。实际 上这两个半圆的面积是相等的,所以阴影部分的就等于半径为3厘米的圆的1/6,1/6×3.14×32=4.71(平方厘米)

例8 左下图中,已知AE=1/5AC,CD=1/4BC,BF=1/6AB,那么△DEF的面积是△ABC的面积的几分之几?

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    解:连结AD、BE、CF如右上图。因为CD=1/4×BC,所以S△ACD1/4×S△ABC。因为AE=1/5×AC,所以S△CDE4/5×S△ACD4/5×1/4×S△ABC1/5×S△ABC;同理,S△BDF1/6×S△ABD1/6×3/4×S△ABC1/8×S△ABC;S△AEF1/5×S△ACF1/5×5/6×S△ABC1/6×S△ABC。所以,△DEF的面积是△ABC的面积的1-1/51/81/661/120

    练习

  1.把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1、图2),然后适当连接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形。已知图1中阴影部分的面积是294平方分米,那么图2中阴影部分的面积是多少平方分米?

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  2.用6个边长为1的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形,如果要拼成一个边长为6的正六边形,需要边长为1的正三角形多少个?

3.按照左下图中所指的方向,从A点到J点有多少条不同的路线?

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    4.如上图,象棋盘上一个兵过河后,沿最短路线走到对方的“将”处,有多少种不同的走法?

  5.计算:19+199+1999+…+199…99,一直加到1后面有1999个9,得多少?

    63+33+333+3333+…+333…333,一直加到1995个3,和的末三位数字是哪几个数字?

  7.六年级的人数在80~110之间,如果每8人组成一组,那么有一个小组多5人;如果每12人组成一组,那么有3个小组各少1人。六年级共有学生多少人?

8.已知一个四边形的两条边的长度和三个角,如左下图所示,那么这个四边形的面积是多少?

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   9.右上图是由正方形和半圆组成的,其中P点为半圆周的中点,Q点为正方形一边的中点,那么阴影部分的是多少?

  10.(如图)三角形ABC的面积是1平方厘米,且BE=2EC,F是CD的中点。那么阴影部分的面积是多少平方厘米?

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    答案

1200平方分米。  2216个。  355条。  415种。

522…202211996个2接0221。  6705。  793人。 

820。  951.75。  105/12平方厘米。

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