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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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小学数学思想方法 第六讲 枚举法  

2013-04-27 11:53:56|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学思想方法

讲  枚举法

  枚举法是将问题所涉及的所有情况全部列举出来,一一加以讨论,从而解决问题的一种方法。当问题出现的情况是有限种,而且这些情况又无法统一处理时,就可以用枚举法来解决。

  例1 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚,用它们去支付2角3分,有多少种不同的支付方法?

解:要付2角3分23分,最多可以使用4枚5分硬币,而全部1分和2分硬币12分12分,所以最少要用3枚5分硬币。

(1)使用4枚5分硬币时,有:

  23=4×5+2+1,4枚5分硬币、1枚2分硬币、1枚1分硬币;

  23=4×51,4枚5分硬币、3枚1分硬币。

  2种支付方法;

  (2)使用3枚5分硬币时,有:

  23=5+2,3枚5分硬币、4枚2分硬币;

  23=5+3×21,即3枚5分硬币、3枚2分硬币、2枚1分硬币;

  23=5+2×2+1,即3枚5分硬币、2枚2分硬币、4枚1分硬币。

  3种支付方法。

  共有5种支付方法。

  例2 设a与b是两个不相同的自然数,如果它们的最小公倍数是72,那么a与b之和可以有多少种不同的值?

  解:a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3,有12个约数:1, 2,3, 4,6, 8,9, 12, 18, 24, 36, 72。不妨设a>b。

  (1)当a=72时,b可取小于72的11种约数,a+b的值为73、74、75、76、78、80、81、84、90、96、108,共11个;

(2)当a=36时,b不能是36的约数,只能取8或24,a+b的值为44或60,共2个;

(3)当a=24时,b不能是24的约数,只能取9或18,a+b的值为33或42,共2个;

(4)当a=18时,b不能是18的约数,也不能取4或12,只能取8,a+b的值只有1个26;

(5)当a=12时,b无解;

(6)当a=9时,b只能取8,a+b的值只有1个17。

  以上a+b的值均不相同,所以a+b可以有11+2+2+1+1=17种不同的值。

3 如图,24块边长为10厘米的正方体瓷砖,排成如下黑白相间的长方形。一只蚂蚁沿着瓷砖的边爬行,爬行中它的左边总有一块黑的瓷砖。这只蚂蚁从P到Q,至少爬了多少厘米?

小学数学课外学习材料 第六讲 枚举法 - 老骥 - 周靖国的博客

解:蚂蚁爬行的路线只有下面三种情况,

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    长度是120厘米。

  4 设n=200×209×218×…×2000,那么n的末尾有多少个连续的0?

    解:n的末尾有多少个0,取决于n的质因数中有多少个5和2。观察发现,n的因数是一个首项为200,公差为9,末项为2000的数列,显然质因数2的个数多于质因数5,所以n的末尾有多少个0,就取决于质因数5的个数。观察还发现,n的因数数列的首项200和末项2000都是5的倍数,所以n的因数中,只有与200的差既是5的倍数也是9的倍数的数才含有质因数5。这样的因数有200、245、290、335、……、1910、1955、2000共41个,这就使得n含有41个质因数5。进一步观察又发现,这41个因数中的200、425、650、875、1100、1325、1550、1775、2000这9个数含有因数25,这就使得n所含有的质因数5的个数又增加了9个。再进一步观察又发现,这9个因数中的875、2000两个数含有因数125,这就使得n所含有的质因数5的个数又增加了2个。因此n所含有的质因数5的个数共有41+9+2=52()。所以n的末尾有52个连续的0。

5 在射击运动中,每射一箭得到的的环数是不超过10的自然数(包括0)。甲、乙两名运动员各射了5箭,每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙的总环数。

  解:因为每箭射中的环数都是1764的因1784分解质因数,1764=2×2×3×3×7×7,环数是不超过10的自然数,7不可能与别的质因数相乘,所以必有两箭是7环,其3箭的环数是2×2×3×336的因36=1×4×9=1×6×7=2×3×9=2×3×6=3×3×4,因此,两人射箭的环数有5种可能:

  7, 7,1, 4,9,和是28;

  7, 7,1, 6,6,和是27;

  7, 7,2, 2,9,和是27;

  7, 7,2, 3,6,和是25;

  7, 7,3, 3,4,和是24。

  因为甲的环数比乙少4,所以甲的总环数是24,乙的总环数是28。

  例6 5张卡片上分别写有数字00123可以用它们组成许多不同的五位数。所有这些五位数的平均数是多少?

解:

(1)首先确定这些五位数的个数。设五位数是abcde:

  当a=1时,有10023, 10032, 10203, 10230, 10302, 10320, 12003, 12030, 12300, 13002, 13020, 1320012个数;

当a=2时,有20013, 20031, 20103, 20130, 20301, 20310, 21003, 21030, 21300,23001, 23010, 2310012个数

当a=3时,有30012, 30021, 30102, 30120, 30201, 30210, 31002,31020, 31200, 32001, 32010, 3210012个数

(2)其次求所有这些五位数的平均数。

观察发现,数字1、2、3在万位上各出现12次在千位上、百位上、十位上、个位上各出现6次。所以这36个数的平均数是

  [(1+2+3)×12×10000+(1+2+3)×6×(1000+100+10+1)]÷36=21111。

7 有三个如下图这样的长方体,棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米,把它们的某些面染上红色,使得有1个长方体只有一个面是红色的,有1个长方体恰有两个面是红色的,有1个长方体恰有三个面是红色的。染色后把所有的长方体都切成棱长为1厘米的小正方体,恰有一面是红色的小正方体最少有多少个?

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    解:边观察边思考发现:

        1、一个面染红的长方体显然应将3×4的面染成红色,产生12个一面红的小正方体,个数最少。

2、两个面染红的长方体

(1)如果将3×4、3×5两个长方形染红,产生3×[(4-1)(5-1)]=21()一面红的小正方体

    (2)如果将3×4、4×5两个长方形染红,产生4×[(3-1)(5-1)]=24()一面红的小正方体

    (3)如果将3×54×5两个长方形染红,产生5×[(3-1)(4-1)]=25()一面红的小正方体

最少产生21个一面红的小正方体

3、三个面染红的长方体

(1)如果将两个3×4和一个3×5的面染红,产生3×[2×(4-1)+(5-2)]=27()一面红的小正方体

(2)如果将两个3×4和一个4×5的面染红,产生4×[2×(3-1)+(5-2)]=28()一面红的小正方体

(3)如果将两个3×5和一个3×4的面染红,产生3×[2×(5-1)+(4-2)]=30()一面红的小正方体

(4)如果将两个3×5和一个4×5的面染红,产生5×[2×(3-1)+(4-2)]=30()一面红的小正方体

(5)如果将两个4×5和一个3×4的面染红,产生4×[2×(5-1)+(3-2)]=36()一面红的小正方体

(6)如果将两个4×5和一个3×5的面染红,产生5×[(2×4-1)+(3-2)]=35()一面红的小正方体

(7)如果将有一个公共顶点的三个面染红,产生(3-1)×(4-1)(4-1)×(5-1)(5-1)×(3-1)=26()一面红的小正方体

  最少产生21个一面红的小正方体

  所以,一面红的小正方体最少有12+21+26=59()

  例8 一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数,其和是13。求所有满足条件的自然数。

  解:设这个数为n,n除以8所得的商为q,n除以9所得的余数为r。于是r≤8,因为q+r=13,所以5≤q≤13。

  当q=5时,r=8,n=5×8+4=44;

  当q=6时,r=7,n=6×8+4=52;

  当q=7时,r=6,n=7×8+4=60;

  当q=8时,r=5,n=8×8+4=68;

  当q=9时,r=4,n=9×8+4=76;

  当q=10时,r=3,n=10×8+4=84;

当q=11时,r=2,n=11×8+4=92;

当q=12时,r=1,n=12×8+4=100;

  当q=13时,r=0,n=13×8+4=108。

  满足条件的自然数共有9个。

  练习

  1.连乘积11×12×13×…×54×55×56的末尾共有多少个连续的0?

  2.一本书有500页,编上页码1,2,3,…。问数字1在页码中出现多少次?

  3.在1, 2,3,…,1996, 1997这1997个自然数中,含数字1的数共有多少个?

  4.用1角、2角和5角三种人民币(每一种的张数没有限制)组成1元钱,有多少种不同的方法?

  5.在五位数中,能被11整除且各位数字和等于43,这样的数有哪些?

    6.试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中,每个数字只用一次:

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    使得这三个数中任意两个都互质,其中一个已填好,它是714。

  7.三年级小朋友做投球游戏,把红、黄两种颜色的球投到5米外的小铁筐里,每投进一个红球得7分,投进一个黄球得5分。马小勤一共得了58分,他投进了几个红球?

  8.有一类小于200的自然数,每一个数的数字和是奇数,而且都是两个两位数的乘积(例如:144=12×12),那么,在这一类自然数中,第三大的数是多少?

  9.一个整数乘以13后,乘积的最后三位数是123,那么这样的整数中 最小的是多少?

  10.用一个平面去截一个立方体,得到一个矩形的截口,而把立方体分为两部分。问:这两部分各是几面体?

  答案

  111个。  2200次。  31269个。  410种。

  599979,97999,98989。  6另外两个数是263和5。

  74个。  8180。  9471。

10有4种可能:两个6面体;两个5面体;一个5面体与一个6面体;一个5面体与一个7面体。

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