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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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小学数学思想方法 第七讲 逐步调整  

2013-04-27 11:54:43|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学思想方法

讲  逐步调整

  有些问题没有现成的解法,可以根据已知条件先大体上判断一下解可能存在的范围,或者按照题目的要求进行试算,然后再一步步向正确的解逼近,这种数学思想方法叫做逐步调整。

  例1 将自然数1,2,3,…依次写下去组成一个数:12345678910111213…。

如果写到某个自然数时,所组成的数恰好第一次能被72整除,那么这个自然数是多少?

  解:能被72整除的数,必须能同时被89整除,即末三位数是8的倍数数字和是9的倍数。根据这两点1234开始边写边算,首先注意末三位数的情况,当出现8的倍数时再算数字和,直到数字和是9的倍数为止(计算过程中可以随时弃去9的倍数)。最后到的自然数是36。

例2 新世纪学校的学生总数是一个三位数,平均每个班36人。统计员提供的学生总数比实际总人数少186人。原来,他在记录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了,并且把个位数字6写成了0。这个学校学生总数是多少人?

解:统计员提供的学生总数比实际总人数少186人,是由两个原因造成的。“把个位数字6写成了0”少了6人;“将这个三位数的百位、十位上的数字对调”少了186-6=180人,说明百位数字比十位数字大2。所以这个学校学生总人数只能是316、426、536、646、756、866、976。因为总人数是36的倍数,必须能被9整除,所以总人数的数字和只能是9或18。对上面这7个数逐一排查,得到总人数只能是756。

  例3 用1,1,2,2,3,3,4,4这八个数字写一个八位数,使得两个1之间有1个数字,两个2之间有2个数字,两个3之间有3个数字,两个4之间有4个数字。

  解:经过多次发现,只有41312432、23421314满足要求。

  例4 已知两个不同的分数单位之和是1/12,那么这两个分数单位之差的最小值是多少?

  解:设1/a1/b1/12(a<b)1/24+1/24=1/12得知,a<24,b>24。试算发现1/211/281/12,而1/211/281/84。如果1/a1/b1/84,那么,与1/a1/b1/12相加,可得2/a1/121/842/21,于是a>21。试算发现,当a=22,23时,1/121/225/1321/121/2311/276,无解。所以这两个分数单位之差的最小值是1/84

例5 在一个圆圈上有一些孔,孔的总数不到100个(如图)。小明像玩跳棋那样,从A孔出发沿着逆时针方向,每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能回到A孔。他先试着每隔2个孔跳一步,结果只能跳到B孔。他又试着每隔4个孔跳一步,也只能跳到B孔。最后他每隔6个孔跳一步,正好跳回到A孔。你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?

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    解:如果从A孔开始按逆时针方向给每个孔编上号:1,2,3,…那么B孔的编号就是孔的总数。每隔2个孔跳一步,跳在1,4,7,10,…上,最后跳到B孔,因此孔的总数是3的倍数加1;同理,每隔4个孔跳一步最后回到B孔,意味着孔的总数是5的倍数加1;而每隔6个孔跳一步最后回到A孔,就意味着孔的总数是7的倍数。综上所述,孔的总数应该比15的倍数多1,而且是7个倍数,还小于100。试算发现,这个数只能是91所以这个圆圈上共有91个孔。

例6 下图的6条线分别连接着9个○,其中一个○里的数是6。请你选九个连续自然数(包括6在内),填入○内,使每条线上各数的和都等于23。

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    解:当六条线上的数相加时,6只加了一次,其余的数分别加了两次,所以这九个连续自然数的和是(23×6+6)÷2=72。于是,九个数的中间数是72÷9=8,这九个数是4,5,6,7,8,9,10,11,12。其中只有11+12=23,所以11和12只能填在右边的两个○内。23-6=17,所以在6的两边只能填10和7或者9和8。经试算,填10和7时无解;填8和9时得到下面两个解:

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    例7 ABCD表示一个四位数,EFG表示一个三位数,A,B,C,D,E,F,G代表1至9的不同的数字。已知ABCD+EFG=1993,问:乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?

解:列出竖式

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可以看出A=1;因为E最小是2,所以B最大是7;由于D、G都不能是01,所以D+G=13,G最小是4,D最大是9;于是C+F=8,由于F最小是3,所以C最大为5。从而三位数BCD最大为759,这时EFG=234;BCD最小为234,这时EFG为759。

  ABCD×EFG=(1000+BCD)×(993-BCD)

=1000×993-1000×BCD+993×BCD-BCD×BCD

=993000-7×BCD-BCD×BCD

    于是在BCD最大时,乘积最小;BCD最小时,乘积最大。因此,所求的差是

      (993000-7×234-234×234)(993000-7×759-759×759)

     =7×(759-234)+759×759-234×234

     =7×(759-234)(759+234)×(759-234)

  =7×(759-234)+993×(759-234)

  =(7+993)×(759-234)

     =1000×525

     =525000。

  例8 四个足球队进行单循环比赛,每两队都要赛一场。如果踢平,每队各得1分,否则胜队得3分,负队得0分。比赛结果,队的总得分是四个连续的自然数。问:输给第一名的队总分是多少?

    解:四个队每队都要赛3场,共赛(4×3)/2=6场,6场总分(也是四个队的总得分)m6场都踢平m最小,m=2×6=126场都有胜负m最大,m=3×6=18。已知各队的总得分是四个连续的自然数所以m=2+3+4+5=14或3+4+5+6=18。如果m3+4+5+6=18,就是说6场都有胜负,没有平局,而5=3+1+1,表明有一个队两场踢平,出现矛盾,说明这种情况不会发生,所以只能是m=2+3+4+5=14。而6场得分考虑,14=2+2+2+44,表明6场中只有2场分出胜负,其余4场踢平。第一名得5分,5=3+1+1,说明胜一场,平两场。第二名得4分,只能是4=3+1+0,即,胜一场,平一场,负一场。因为6场中只有两场分出胜负,所以第三名和第四名都没有胜过,第二名输掉的这一场只能是输给第一名,因此,输给第一名的队就是第二名,得了4分。

    练习

  1.一辆双层公共汽车有66个座位,空车出发,第一站上1位乘客,第二站上2位乘客,第三站上3位乘客,依此类推,第几站后车上坐满乘客?(南京市“兴趣杯”赛题)

  2.把1、2、3、4、5、6、7、8、9按另一种顺序填在下表的第二行空格中,使得每两个上、下对齐的数的和都是完全平方数。 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

  3.哥哥对弟弟说:“到21世纪的x2年,我是x岁。”哥哥是哪年出生的?

  4.有一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?

  5.边长1米的正方体2100个,堆成一个实心的长方体。它的高是10米,长、宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米?

  6.用1、2、3、4、5、6每个数字只用一次,组成两个三位数,并使它们的和最小。这两个三位数的和是多少?

7.下面算式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字。

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则A、B、C分别代表什么数字?

  8.张教授连续做实验若干个小时。开始和结束时,墙上的挂钟都正在报时,他做完实验后大约16分钟,钟面上时针与分针重合。已知这个挂钟只在整点报时(几点就敲几下),整个实验过程中共敲了39下。问:

  (1)张教授的实验一共做了几小时?

  (2)他做完实验时,挂钟敲了几下?

  9.有5块圆形的花圃,它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米。请将这5块花圃分成两组,分别交给两个班管理,使两个班所管理的面积尽可能接近。应该怎样分?

10.三个正方体的棱长分别是2厘米、2厘米、5厘米,将它们粘在一起,可得到一个新的几何体。这个几何体的表面积最小是多少平方厘米?

    答案

  1第11站。

  2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

8

2

6

5

4

3

9

1

7

  31980年。  4374。  529米。  6381。

  7A=1,B=2,C=9。  8、(1)5小时;(2)3下。

  9把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理,其余三个花圃交给另一个班管理。

10174平方厘米。

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