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周靖国的博客

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因数问题  

2013-06-17 05:54:19|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第二章 除数好散心)

我们知道,如果一个正整数N的质因数可以分解为

因数问题 - 老骥 - 周靖国的博客

那么,N的因数个数就等于(ɑ1+1)(ɑ2+1)…(ɑn+1)。

如,24=23×3,2和3的幂指数分别是3和1,所以24有(3+1)(1+1)=8个因数,分别是1、2、3、4、6、8、12、24。

再如。60=22×3×5,2、3、5的幂指数分别是2、1、1,所以60有(2+1)(1+1)(1+1)=12个因数,分别是1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。

相反的问题:已知一个数的因数个数,求这个数。

如,试求一个数,这个数正好有14个因数,并且最小。

取14=2×7,把每个因数都减去1,得1和6,把它们看作幂指数,任一形式为p1q6(p,q为质数)的数,都正好有14个因数。要想得到最小的解,就要取最小的质数,可以取2和3,最小解是21×36=1458,26×31=192。

取14=1×14,把每个因数都减去1,得0和13,把它们看作幂指数,任何一个正整数的0次方都等于1,而1不是质数,最小解是213=8192。

对所得的3个最小解比较后得出,答案是192。

可见,要求出一个最小的正整数,使之具有给定个数的因数,并非一件很简单的事。

例如,如果12是给定的因数的个数,而我们取12=2×6,这时,相应的指数为1和5,解就可能是25×32=96;如果我们取12=3×4,相应的指数为2和3,解就可能是23×34=72。而前面已经说过,60有12个因数,而这两个答案96和72,都比60大。那么,60这个解又该怎样才能找到呢?原来,12也可以写成2×2×3,相应的指数是1、1、2,这样就得到22×3×5=60。

再如,求一个正好具有100个因数的最小正整数,过程就更加复杂。

首先,把100写成几个因数的积:50×2,25×4,20×5,10×10,25×2×2,10×5×2,5×5×4,5×5×2×2。由此得出,正好有100个因数的数,分解质因数后的形式为:p49×q,p24×q3,p19×q4,p9×q9,p24×q×r,p9×q4×r,p4×q4×r3,p4×q4×r×s。让p、q、r、s取尽可能小的质数,通过分析对比,由最后一个形式p4×q4×r×s,得到满足要求的最小解:24×34×5×7=45360。

对于一个数来说,1和这个数本身也是它的因数;如果不算这个数本身,其余的因数包括1,叫做这个数的“真因数”。

数的因数之和可以引发许多有趣的问题。

如,求一个正整数,其因数之和恰好是一个完全平方数。

满足要求的最小数是3,因为3的因数是1和3,1+3=4,而4=22,是一个完全平方数。

下一个满足要求的数是22,因为22的因数是1,2,11,22。1+2+11+22=36=62

满足要求的数还有:

  正整数      因数          因数和=平方数

      66    1,2,3,6,11,22,33,66               144=122

      70    1,2,5,7,10,14,35,70               144=122

      81    1,3,9,27,81                       121=112

    1501    1,19,79,1501                     1600=402

     4479865    1,5,13,41,65,205,533,         5934096=24362

                1681,2665,8405,21853,

                68921,109265,344605,

               895973,4479865

再如,试找出一个平方数,其所有因数之和也是一个平方数。

满足要求的数有:

  平方数        所有因数之和=一个平方数

  81=92        1+3+9+27+81=121=112

  400=202     1+2+4+5+8+10+16+20+25+40+50

             +80+100+200+400=961=312

再如,试找出一个平方数,其所有真因数之和也是一个平方数。

满足要求的数有:

  平方数        所有真因数之和=一个平方数

    9=32            1+3=4=22

  2401=492        1+7+49+343=400=202

有时,一个数真因数之积(而不是其和),有可能等于该数的某个乘幂。这样的实例有:

  数N                     N的真因数之积

   12                    1×2×3×4×6=144=122

     20                   1×2×4×5×10=400=202

     45                  1×3×5×9×15=2025=452

     24               1×2×3×4×6×8×12=13824=245

     40              1×2×4×5×8×10×20=64000=403

     48        1×2×3×4×6×8×12×16×24=5308416=484

     80      1×2×4×5×8×10×16×20×40=40960000=804

    405  1×3×5×9×15×27×45×81×135=26904200625=4054

正整数的因数,还有许多其他有趣的规律。其中,一个鲜为人知的规律是:

如果数N有p个因数,那么,所有这些因数的乘积,等于N的p次方的平方根。

如,4有3个因数,分别是1、2、4。所有这些因数的乘积是1×2×4=8;43=64,而64的平方根也等于8。

又如,15有4个因数,分别是1、3、5、15。所有这些因数的乘积是1×3×5×15=225;154=50625,而50625的平方根也等于225。

再如,前面提到过的24和60:

24有8个因数,分别是1、2、3、4、6、8、12、24。所有这些因数的乘积是1×2×3×4×6×8×12×24=331776;248=110075314176,而110075314176的平方根也等于331776。

60有12个因数,分别是1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。所有这些因数的乘积是1×2×3×4×5×6×8×12×15×20×30×60=46656000000;6012=2176782336000000000000而2176782336000000000000的平方根也等于46656000000。

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