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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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梅森数  

2013-06-23 14:55:33|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第三章 完美无缺)

我们知道,早在公元前,欧几里得就给出了偶完全数公式:

N=2n-1(2n-1)

式中,n是正整数,并且必须能使2n-1为质数。

后来,大数学家欧拉证明,欧几里得公式是偶完全数唯一可能的公式。

嗣后,人们又发现,公式中的n只能是质数。因为,当n为合数时,如果是偶合数n=2y,22y-1就是平方差,可以分解因式,22y-1=(2y+1)(2y-1);如果n是奇合数pq,2pq-1也可以分解因式,2pq-1=[(2p)q-1)][(2p)q-1+(2p)q-2+(2p)q-3+…+2p+1]。

于是,对偶完全数来说,n取哪些质数,才能使2n-1为质数,就成为问题的关键。

法国数学家梅森对此作过深入的研究,因此,人们便把2n-1型的数称为“梅森数”;把2n-1型的质数,称为“梅森质数”。

在那个年代,完全数以其完美独特的性质风靡一时,吸引了许许多多研究者的目光,其中,也不乏索取名利之徒。他们把数与无知奇怪地揉合在一起,就像是炼金术士把化学和炼金术拼凑在一起那样。例如,有个叫本果斯的人,就在他的一本名为《数的神秘》的书里,一下子就列出了24个据说是完全数的数。然而,经过梅森研究后指出,其中只有8个是对的。

下面就是这8个完全数2n-1(2n-1)与梅森数2n-1和质数n的对应关系:

  n    完全数2n-1(2n-1)    梅森数2n-1

  2           6         3

  3           28                  7

    5                    496                 31

    7                   8128                127

   13               33550336               8191

   17             8589869056             131071

   19           137438691328             524287

   31    2305843008139952128         2147483647

显然,质数n在这里并未连续出现,中间缺少了11,23,29。这是因为,当n=11,23,29时,对应的梅森数2n-1是合数。例如,当n=11时,梅森数211-1=2047,而2047=23×89,说明2047是合数。

梅森对他所研究的2n-1型的数,曾经给n设置了一个上限,即n不超过257。他在确认了上面8个完全数之后提出,紧随其后的3个完全数,对应的质数依次是67,127,257。然而,不无遗憾的是,智者千虑犹有一失。后来,有些研究家,经过多年的艰辛劳动发现,梅森所给出的67,257两个值是错误的,并且在他所设置的上限内漏掉了能得出质数的89和107。

后世的研究,早已突破了梅森所设置的上限。随着质数n的增大,梅森数的数位急剧增多,给判断它是否是质数造成极大困难,这也是已经发现的偶完全数的数量,增长极其缓慢的一个重要原因。

尽管梅森在他所开创的2n-1数的研究中,出现过一些错误,但是,梅森对质数研究的贡献仍然功不可没。他的工作极大地激发了人们研究2n-1型数的热情,使摆脱作为完全数的附庸地位,堪称质数研究的一个转折点和里程碑。

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