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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

从“亲和数”谈起  

2013-06-27 12:17:56|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第四章 亲如手足)

两个正整数,如果一个数的所有真因数之和,正好等于另一个数,这两个数就叫做一对“亲和数”。1184与1210就是一对亲和数。

1184所有真因数之和是1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210;

1210所有真因数之和是1+2+5+10+11+22+55+110+121+242+605=1184。

这对亲和数是1866年,由一位年仅16岁的少年巴格尼尼发现的,堪称英雄出少年。此前,1750年,数学大师欧拉,曾一举列出了60对亲和数,其中唯独漏掉了这对从小到大排在第二的亲和数。

最小的一对亲和数是220与284。

220所有真因数之和是1+2+4+5+10+11+22+44+55+110=284;

284所有真因数之和是1+2+4+71+142=220。

有好多种方法可以产生亲和数。下面是阿拉伯数学家塔别特·本·考拉提供的一种方法:

取2的任意次幂2x,此处x>1,并形成下列各数:

          ɑ=3×2x-1,

         b=3×2x-1-1,

         c=9×22x-1-1,

如果它们都是质数,那么,2xɑb与2xc便是一对亲和数。

比如,当x=2时,ɑ=3×22-1=3×4-1=11,b=3×21-1=3×2-1=5,c=9×23-1=9×8-1=71。11,5,71都是质数,2xɑb=4×11×5=220,2xc=4×71=284。220与284就是上面提到的那对亲和数。

但是,当x=3时,ɑ=3×23-1=3×8-1=23,b=3×22-1=3×4-1=11,c=9×25-1=9×32-1=287。虽然23,11是质数,而287=7×41,是合数,所以得不到亲和数。

再如,当x=4时,ɑ=3×24-1=3×16-1=47,b=3×23-1=3×8-1=23,c=9×27-1=9×128-1=1151。47,23,1151都是质数,2xɑb=24×47×23=16×47×23=17296,2xc=24×1151=16×1151=18416。17296与18416便是一对亲和数。

排在第三的一对亲和数是2620与2924。

2620所有真因数之和是1+2+4+5+10+20+131+262+524+655+1310=2924;

2924所有真因数之和是1+2+4+17+34+43+68+86+172+731+1462=2620。

下面这几对数也是亲和数:

5020与5564,6232与6368,10744与10856,9363584与9437056,111448537712与118853793424。

从完全数、亲和数都与数的真因数之和有关,使人们想到一个问题:如果把一个数的所有真因数之和相加,得到一个结果,再把作为其结果的数的真因数相加,又得到一个结果,如此反复进行,将会出现什么情况呢?

实验得到三种情况:

第一种情况:最终得到1。这种情况属于大多数;

如,20的真因数之和是1+2+4+5+10=22,22的真因数之和是1+2+11=14,14的真因数之和是1+2+7=10,10的真因数之和是1+2+5=7,7的真因数只有1。

第二种情况:真因数之和越来越大,无限递增;

第三种情况:出现循环,即在这个过程中,某次真因数之和又回复到以前出现过的情况。

显然,如果真因数一次相加,即返回到原数,就得到一个完全数;如果真因数两次相加,又返回到原数,就得到一对亲和数。如果真因数多次相加,又回复到原数,就得到一组“高阶亲和数”又称“社交数”。

例如:

12496的真因数相加得到14288,14288的真因数相加得到15472,15472的真因数相加得到14536,14536的真因数相加得到14264,14264的真因数相加又得到12496。这个循环共经过5次相加,所以,12496、14288、15472、14536、14264就是一组“5阶亲和数”,或者叫“有5个成员的社交数”。

真正令人惊讶的数是14316,经过28次真因数相加,又返回到它自己,于是得到一组“28阶亲和数”,这个社交圈子有28个成员。

其循环过程是:

14316→19116→31704→47616→83328→177792→295488→629072→589786→294896→358336→418904→366556→274924→275444→243760→376736→381028→285778→152990→122410→97946→48976→45946→22976→22744→19916→17716→14316(原数)

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