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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

勾股定理趣题  

2013-08-25 22:27:43|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第十四章 不朽的三角形)

几乎人人知道32+42=52,这是勾股定理的应用。该定理说:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。但是很少有人知道,5,12,13这些数同样能满足上述关系,而又与3,4,5不成比例。至于知道7,24,25也能满足同样关系的就更了。

给出直角三角形整数边长的公式是

        一条直角边:X=m2-n2

        另一直角边:Y=2mn

        斜   边:Z=m2+n2

式中,m,n是任意正整数。

  下面一些实例:(表1)

     m      n    X=m2-n2  Y=2mn  Z=m2+n2

     2   1    3      4     5

     3   2    5      12        13

         5      2       21         20        29

         9      6       45        108       117

         5      3       16         30        34

         4      3        7         24        25

         6      1       35         12        37

        18     17       35        612       613

         9      8       17        144       145

         4      1       15          8        17

m,n有时称为母数。如果我们把连续正整数对取作m,n值,这时,较长的直角边Y与斜边Z是连续正整数:(表2)

      m      n      X      Y      Z

           2      1      3      4      5

          3      2      5     12     13

           4      3      7     24     25

           5      4      9     40     41

           6      5     11     60     61

           7      6     13     84     85

如果把(表2)中的直角边YX当作母数,就能得到斜边为平方数的直角三角形(直角三角形中,只可能有一条边的长度是平方数):(表3)

      m      n       X      Y        Z

      4   3     7      24     25=52 

        12      5      119     120    169=132

        24      7      527     336    625=252

               40      9     1519     720   1681=412

               60     11     3479    1320   3721=612

             84     13     6887    2184   7226=852

  如果把(表2)中的Z与Y作母数,就得到较小的直角边是平方数的直角三角形:(表4)

      m      n       X      Y        Z

        5   4    9      40       41

          13     12      25     312      313

               25     24      49    1200     1201

               41     40      81    3280     3281

现在,让我们三角形数1,3,6,10,15(每个三角形数都是从1开始的连续正整数之和:6=1+2+3;10=1+2+3+4;15=1+2+3+4+5等等)来作母数,此时,最小的直角边X之长是个立方数:(表5)

      m      n       X      Y       Z

            6      3      27      36      45

           10      6      64     120     136

           15     10     125     300     325

下面是两道非常有趣的题目:

一、在关系式a2+b2=c2中,设c=b+1,于是,a2=c2-b2=(b+1)2-b2=b2+2b+1-b2=2b+1,即a2=2b+1。可见a2是奇数,说明a也是奇数。设a=2n+1,于是a2=(2n+1)2=4n2+4n+1。从a2=2b+1得知,b=(a2-1)/2=[(4n2+4n+1)-1]/2=2n2+2n。从而c=b+1=2n2+2n+1。

取n为10的幂,得下表:

   n   a=2n+1      b=2n2+2n   c=2n2+2n+1

 10            21              220                221

   102          201            20200              20201

   103         2001          2002000            2002001

   104        20001         20002000          200020001

 105        200001       2000020000        20000200001

 106       2000001     200000200000      2000002000001

于是,得到一个由勾股定理形成的数字宝塔:

212+2202=2212

2012+202002=202012

20012+20020002=20020012

200012+2000200002=2000200012

2000012+200002000002=200002000012

20000012+20000020000002=20000020000012

如果取n=20,得下表:

     n    a=2n+1   b=2n2+2n  c=2n2+2n+1

  2×10            41             840              841

   2×102           401           80400            80401

    2×103          4001         8004000          8004001

    2×104         40001       800040000        800040001  

   2×105        400001     80000400000      80000400001

   2×106       4000001   8000004000000    8000004000001

又得到一个由勾股定理形成的数字宝塔:

412+8402=8412

4012+804002=804012

40012+80040002=80040012

400012+8000400002=8000400012

4000012+800004000002=800004000012

40000012+80000040000002=80000040000012

二、从a=6n+9,b=2n2+6n,c=2n2+6n+9开始,n取10的正整数次幂,也可以得到一个由勾股定理形成的数字宝塔:

692+2602=2692

6092+206002=206092

60092+20060002=20060092

600092+2000600002=2000600092

6000092+200006000002=200006000092

60000092+20000060000002=20000060000092

  其实,勾股定理本身,就是一座云蒸霞蔚光芒四射的宝塔。

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