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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

平方数奇观  

2013-09-02 21:31:45|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第十五章 平方奇观

所谓平方数,是指数列1,4,9,16,25,…中的数。很容易发现:第一个平方数加上3,就得到第二个平方数;第二个平方数加上5,就得到第三个平方数;如此等等。一般地说,如果把2x+1加到x的平方上去,即可得出下一个平方数。例如,52+(2×5+1)=62。它所依据的就是代数恒等式(x+1)2=x2+2x+1。

根据人们非常熟悉的一些代数恒等式,可以得到许多有关平方数的速算方法。

如,根据(a±b)2=a2±2ab+1,如果已知602=3600,用心算即可得出

  612=(60+1)2=602+2×60+1=3600+120+1=3721;

  592=(60-1)2=602-2×60+1=3600-120+1=3481。

再如,根据(a+b)(a-b)=a2-b2,移项得a2=(a+b)(a-b)+b2,适当选取b,使a+b或a-b的计算比较简单,就可以很快算出a2。如

  472=(47+3)(47-3)+32=50×44+9=2200+9=2209。

  962=(96+4)(96-4)+42=100×92+16=9200+16=9216。

再如,以5为尾数的数的平方可以脱口而出。拿35的平方来说,把首位数3乘上比它大1的连续数4,得12;在其后面添上尾巴25,结果1225就出来了。用此方法不难马上算出652,6×7=42,后面再添上“尾巴数”25,652=4225。152=225(1×2=2,后面再添上“尾巴数”25)等等。两位以上的数求平方时,也可以如法炮制,例如1152=13225(11×12=132,后面再添上“尾巴数”25)。

这类方法很多,不再一一列举。

有些平方数的数字组成非常有趣。下面就是几种这样的平方数:

九个数字齐全的平方数:

  118262=139854276  196292=385297641  250592=627953481

  123632=152843769  203162=412739856  255722=653927184

  125432=157326849  228872=523814769  259412=672935481

  146762=215384976  230192=529874361  264092=697435281

  156812=245893761  231782=537219684  267332=714653289

  159632=254817369  234392=549386721  271292=735982641

  180722=326597184  242372=587432169  272732=743816529

  190232=361874529  242762=589324176  290342=842973156

  193772=375468129  244412=597362481  291062=847159236

  195692=382945761  248072=615387249  303842=923187456

十个数字齐全的平方数:

  320432=1026753849  456242=2081549736

  322862=1042385796  554462=3074258916

  331442=1098524736  687632=4728350169

  351722=1237069584  839192=7042398561

  391472=1532487609  990662=9814072356

含有九个数字的平方差:

  111132-2002=123458679

  311112-2002=967854321

  111172-2002=123547689

  113562-20002=124958736

  126952-60172=124958736

    162602-118082=124958736

  123722-3002=152976384

特别是,前两个例子的第一个平方数与结果还都是互为逆序数。

平方数有一些非常奇特的性质。

一个令人惊讶的事实是:任意一个正整数均可以表示为至多四个平方数之和。

如,4=22,5=22+12,6=22+12+12,7=22+12+12+12,8=2222,9=32,10=32+12,11=32+12+12,12=32+12+12+12,132=32+22,……

大于1的任何奇数和作为4的倍数的任何偶数(4本身除外),都可以表示为两个平方数之差。如

    3=22-12,5=32-42,7=42-32,9=52-42,……

  8=32-12,12=42-22,16=52-32,20=62-42,……

有些数表示为两个平方数之差的方法还不只一种。下面这两个由递增和递减数字组成的数就尤为有趣:

  123456789=617283952-617283942

       =205761332-205761302

       =68587152-68587062

       =189172-153102

             =181332-143302

       =111152-2942

  987654321=4938271612-4938271602

       =1646090552-1646090522

       =548696892-548696802

             =290486652-290486482

       =96829112-96828602

             =32277052-32275522

       =17088892-17086002

       =5700152-5691482

       =1911612-1885602

平方数还有一些奇妙的关系:

从n(2n+1)的平方开始的(n+1)个连续的平方数,其和正好等于其后n个连续平方数之和。

  n            奇妙关系

    1              32+42=52

    2            102+112+122=132+142

      3         212+222+232+242=252+262+272

        4        362+372+382+392+402=412+422+432+442

        5    552+562+572+582+592+602=612+622+632+642+652

许多连续平方数之和也可能是一个平方数。如

  12+22+32+…+242=702

  182+192+202+…+282=772

  252+262+272+…+502=1952

  382+392+402+…+482=1432

  4562+4572+4582+…+4662=15292

  8542+8552+8562+…+8642=28492

除去连续数以外,等差数列也可能有连续若干项,其平方和仍为一平方数。如

    22+52+82+112+142+172+202+232+262=482

三个平方数可以形成等差数列,而四个或更多个平方数就不行。下面是一些三个平方数形成的等差数列:

    1,25,49(公差24);

  49,169,289(公差120);

    49,289,529(公差240);

  289,625,961(公差336);

    1,841,1681(公差840)。

提到平方数,人们自然会想到下面这两个公式:

从1开始连续正整数的平方和公式:

    12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6。

前n个连续正整数之和的平方,等于这些数各自立方之和。

    (1+2+3+…+n)2=13+23+33+…+n3

还有一个平方数奇观:

      12345678987654321=(111111111)2

在结束本文之前,再来介绍一个由平方数引出的话题:

不难找到一些平方数,其和等于另外一些平方数之和。例如

         42+52+62=82+32+22

在等式两边先左后右取各个数字的任意组合,得到48,53,62。写出这些两位数的逆序数84,35,26。竟然有

       482+532+622=842+352+262

继续如法炮制,下面各式全都成立,实在是不可思议!

       482+522+632=842+252+362

       432+582+622=342+852+622

       432+522+682=342+252+862

       422+582+632=242+852+362

       422+532+682=242+352+862

尤其奥妙莫测的是,下面这个等式竟然会对n=1,2,3,都是正确的。

    1n+4n+5n+5n+6n+9n=2n+3n+3n+7n+7n+8n

  更为惊人的是,下面这个等式中的n,竟然可以从1达到7。

    1n+13n+28n+70n+82n+124n+139n+151n=4n+7n+34n+61n+91n+118n+145n+148n

由平方数引出的种种奇妙关系,充分反映出自然数的无穷魅力和科学探索的永无止境。数学真是一座无穷无尽的宝藏!

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