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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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法莱数列  

2013-09-09 17:16:01|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第十六章 法莱数列)

如果指定一个分母的上限,再把最简分数按从小到大的顺序排列,比如说,当分母不大于7时,可以得到以下17个分数:

  1/7,1/6,1/5,1/4,2/7,1/3,2/5,3/7,1/2,4/7,3/5,2/3,5/7,3/4,4/5,5/6,6/7。

这就是所谓的“法莱数列”,或者叫“法莱分数”。

记得小时候刚开始学分数加法的时候,曾经想当然地把两个分数的分子和分母分别相加,闹出了不少笑话。没想到,对于法莱分数,这一招还真有了用武之地!

观察发现:对任意相邻的三个分数来说,中间分数的分子等于左右两个分数分子之和;中间分数的分母等于左右两个分数分母之和,当然,所得的结果,有时需要通过约分化成最简分数。

例如,在上述数列中取任意毗连的三个分数1/4,2/7,1/3,就有(1+1)/(4+3)=2/7;再如,3/5,2/3,5/7,就有(3+5)/(5+7)=8/12=2/3。

按照这条规则,只要给出数列的前两项,即可推出相继各项。而对前两项来说,如果分母不准超过7,当然肯定是1/7和1/6。设第三个分数为x/y,于是(1+x)/(7+y)=1/6。当然,1/6也可能是约分的结果。如果约分前z是分子分母的最大公约数,则有1+x=z,7+y=6z。从而x=z-1,y=6z-7。由于y不能超过7,z只能是2。于是,x=1,y=5,所以第三个分数是1/5。

分母上限为n的法莱分数的个数,可由下面的方法求得:

既然所有的分数都是最简分数,对给定的分母b来说,分子的个数必定是小于b且与之互质的诸数之和,即欧拉函数φ(b)(参看前面的文章“欧拉函数”)。对于从2到n的一切正整数都是如此。所以,分母上限为n的法莱分数的个数N,应当等于φ(2)+φ(3)+φ(4)+…+φ(n)。如果n=7,即有

  N=φ(2)+φ(3)+φ(4)+φ(5)+φ(6)+φ(7)

   =1+2+2+4+2+6

     =17。

法莱数列的另一个性质是:与1/2等距离的两个分数是互补的,其和等于1。这是因为φ(2)=1,是个奇数,而当x大于2时,φ(x)恒为偶数,因此

       N=φ(2)+φ(3)+φ(4)+…+φ(n)

等于奇数1与若干个偶数之和,于是法莱数列的项数必为奇数,而其正中的一项必为1/2。

法莱数列还有一个性质:相邻两个分数之差,一定等于它们的分母乘积的倒数。

如,从开始所引用的法莱数列1/7,1/6,1/5,1/4,2/7,1/3,…,5/6,6/7中,任意取两个相邻的分数1/5,1/4,它们的差1/4-1/5=1/20=1/(4×5);再如,取最后两个分数5/6,6/7,它们的差6/7-5/6=1/42=1/(7×6)。

法莱数列在数论中很有用处。有关法莱数列的理论已被彻底阐明。其中有些比较深奥,而另一些则相当粗浅,这种情况在数论中并不鲜见。这也是为什么许多涉及数论的问题,会被无数数学爱好者喜欢的原因之一。

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