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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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等分圆周  

2013-09-16 10:07:17|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第十七章 等分圆周)

数学的一大魅力在于:全然无关的领域竟能以出人预料的方式彼此联系。谁会想到,数论竟能用来确定哪些圆的内接多边形可以用尺规作图,哪些则不能。

实践告诉我们,圆的内接正方形、正六边形、正三角形和正五边形都可以用尺规作出;由于3和5互质,正15边形也可以用尺规作出;并且用尺规还可以等分任意一条线段或圆弧。所以,正2n边形、正2n×3边形、正2n×5边形、正2n×15边形,都可以用尺规作出。

想不到的是,不算多复杂的正七边形和正九边形,尽管人们反复试验无数次,却依然未能用尺规作出。

经过数学王子高斯的深入研究,才发现可以用尺规作出的正多边形,仅有以下几种:

(1)边数为3、5、17、257和65537的质数(即所谓的“费马质数”);

(2)边数为上述质数的乘积(不可重复);

(3)2的乘幂与一个或多个上述形式的质数的乘积。

根据(1)和(2),可以用尺规作出的正多边形的种数,只能是3、5、17、257和65537这五个质数的排列组合,即25-1=31种。这31种正多边形的边数依次是:

 3,5,15,17,51,85,255,257,771,1285,3855,…,4294967295。

根据(3),即可衍生出所有可以用尺规作出的正多边形。

  尽管从理论上讲,上述这些正多边形可以用尺规作出,但是,实际上要想做到却决非易事。即使是高斯本人用尺规作出的正17边形,分析与作法已经相当复杂。因此,高斯对他的发现极为自豪,念念不忘,希望在他去世后,能在他的墓碑上刻上一个正17边形。由于种种原因,他的愿望最终未能实现。好在在他的出生地——德国的勃朗茨维格郡的一个纪念碑上,还是引以为荣地刻上了正17边形,这位数学天才的在天之灵,也会因此而感到一丝安慰了吧!

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