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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

威尔逊定理  

2013-06-29 06:03:28|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第七章 难解饥渴)

十八世纪中叶,一位英国法官约翰·威尔逊爵士,发现了数论中一种极为罕见的关系:

取从1到某个质数所有连续正整数的乘积,例如从1乘到11,即11的阶乘11!,显然,11!能被从1到11的所有整数整除。略去11,得10!。无疑10!不能被11整除。然而,如果给10!加上1的话,1×2×3×4×5×6×7×8×9×10+1=3628801,怎么也不会想到,3628801却能被11整除(3628801÷11=329891)。类似地,从1到质数7的阶乘7!中略去7,再加上1,得1×2×3×4×5×6+1=721,721也能被7整除(721÷7=103)。

11和7都是质数,研究发现,此种整除性对一切质数都成立,但对合数却不成立。

把上面所说的加以推广,就得到威尔逊定理:

当且仅当p为质数时,(p-1)!+1能被p整除。(逆定理也成立)

能够方便快捷地判断一个数是不是质数,一直是人们梦寐以求的愿望。看来,“皇天不负苦心”,这种方法终于被威尔逊爵士找到了!

根据威尔逊定理,要判断一个数是不是质数,只要把从1到比这个数小1的数统统乘起来,再加上1,如果所得的积能被这个数整除,这个数就是质数,否则就是合数。

下面就从2开始,按照这个方法试一下:

n     (n-1)!    (n-1)!+1    [(n-1)!+1]÷n的余数 数性

2            1             2      0        质数

3           2             3      0       质数

4             6             7      3       合数

5           24            25      0       质数

6           120           121      1       合数

7          720           721      0       质数

8         5040          5041      1       合数

9        40320         40321      1       合数

10      362880        362881      1       合数

11     3628800       3628801      0       质数

12     39916800      39916801      1       合数

13    479001600     479001601      0       质数

14   6227020800    6227020801      1       合数

15  87178291200   87178291201      1       合数

果然正确无误。不过,观察发现,随着n的增加,(n-1)!的数位迅速增长,这就使人们一时无比兴奋的心情,又慢慢地平静下来。因为,即使n=15,(n-1)!已经是一个11位数。不要说数位再多了,试想,即使要判断一个六数,比如421783是不是质数,就要从1,2,3,4,…一直乘到421782,工作量将会何等庞大!所以,这个定理在检验一个数是否是质数方面,只有理论价值而并不实用。真叫人白白高兴了一场!

不过,威尔逊定理有许多美妙的推论。比如,形如4x+1的质数,一定可以表示为两个整数的平方和,而且表达方法是唯一的;而形如4x-1的质数,不可能是两个整数的平方和。

下面就是100以内的质数(除了2以外),按两种类型归类的情况:

   质数  4x+1型=a2b     4x-1型

    3                    4×1-1

        5    4×1+1=22+12

    7                    4×2-1

       11              4×3-1

    13    4×3+1=3222

    17   4×4+1=42+12

       19              4×5-1

       23               4×6-1

       29   4×7+1=52+22 

       31                4×8-1

       37    4×9+1=62+12

       41    4×10+1=52+42

       43                4×11-1 

       47                4×12-1

       53   4×13+1=72+22

       59               4×15-1 

       61   4×15+1=62+52

       67            4×17-1      

       71               4×18-1 

       73    4×18+1=82+32

       79              4×20-1

       83              4×21-1

       89    4×22+1=82+52

       97    4×24+1=92+42

因为所有的质数,除了2以外都是奇数,而等于或大于3的奇数都可以写成4x+1或4x-1的形式,所以,威尔逊定理的这个推论,覆盖了2以外所有的质数,这就使人们对质数的认识,又向前跨进了一步。无怪乎人们把它看成数论的又一块基石。

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